Решаем систему неравенств – свойства и методы вычисления

Система неравенств – решение. Система линейных неравенств

Решаем систему неравенств - свойства и методы вычисления

Неравенства и системы неравенств – это одна из тем, которая проходится в средней школе по алгебре. По уровню сложности она является не самой трудной, т. к. имеет незамысловатые правила (о них немного позже).

Как правило, решение систем неравенств школьники усваивают достаточно легко. Это связано ещё и с тем, что учителя попросту “натаскивают” своих учеников по данной теме.

И они не могут этого не делать, ведь она изучается и в дальнейшем с применением иных математических величин, а также проверяется на ОГЭ и ЕГЭ.

В школьных учебниках тема, посвящённая неравенствам и системам неравенств, раскрыта очень подробно, поэтому если вы собираетесь её изучить, то лучше всего прибегнуть именно к ним. Данная статья лишь пересказывает большие материалы, и в ней могут быть некоторые опущения.

Понятие системы неравенств

Если обратиться к научному языку, то можно дать определение понятию “система неравенств”. Это такая математическая модель, которая представляет собой несколько неравенств.

От данной модели, конечно же, требуется решение, и в его качестве будет выступать общий ответ для всех неравенств системы, предложенной в задании (обычно в нём так и пишут, например: “Решите систему неравенств 4 x + 1 > 2 и 30 – x > 6… “).

Однако перед тем как перейти к видам и методам решений, нужно ещё кое в чём разобраться.

Системы неравенств и системы уравнений

В процессе изучения новой темы очень часто возникают недопонимания. С одной стороны, всё ясно и скорее хочется приступить к решению заданий, а с другой – какие-то моменты остаются в “тени”, не совсем хорошо осмысливаются. Также некоторые элементы уже полученных знаний могут переплетаться с новыми. В результате такого “наложения” зачастую случаются ошибки.

Поэтому перед тем как приступить к разбору нашей темы, следует вспомнить про отличия уравнений и неравенств, их систем. Для этого нужно ещё раз пояснить, что представляют собой данные математические понятия.

Уравнение – это всегда равенство, и оно всегда чему-нибудь равно (в математике это слово обозначается знаком “=”). Неравенство же представляет собой такую модель, в которой одна величина или больше, или меньше другой, или содержит в себе утверждение, что они неодинаковы.

Таким образом, в первом случае уместно говорить о равенстве, а во втором, как бы это очевидно ни звучало из самого названия, о неравенстве исходных данных. Системы уравнений и неравенств друг от друга практически не отличаются и методы их решения одинаковы.

Единственное различие заключается в том, что в первом случае используются равенства, а во втором применяются неравенства.

Виды неравенств

Выделяют два вида неравенств: числовые и с неизвестной переменной. Первый тип представляет собой предоставленные величины (цифры), неравные друг другу, например, 8 > 10.

Второй – это неравенства, содержащие в себе неизвестную переменную (обозначается какой-либо буквой латинского алфавита, чаще всего X). Данная переменная требует своего нахождения.

В зависимости от того, сколько их, в математической модели различают неравенства с одной (составляют систему неравенств с одной переменной) или несколькими переменными (составляют систему неравенств с несколькими переменными).

Два последних вида по степени своего построения и уровню сложности решения делятся на простые и сложные. Простые называют ещё линейными неравенствами. Они, в свою очередь, подразделяются на строгие и нестрогие. Строгие конкретно “говорят”, что одна величина обязательно должна быть либо меньше, либо больше, поэтому это в чистом виде неравенство.

Можно привести несколько примеров: 8 x + 9 > 2, 100 – 3 x > 5 и т. д. Нестрогие включают в себя ещё и равенство. То есть одна величина может быть больше или равна другой величине (знак “≥”) либо меньше или равна другой величине (знак “≤”). Ещё в линейных неравенствах переменная не стоит в корне, квадрате, не делится на что-либо, из-за чего они называются “простыми”.

Сложные включают в себя неизвестные переменные, нахождение которых требует выполнения большего количества математических операций. Они часто находятся в квадрате, кубе или под корнем, могут быть модульными, логарифмическими, дробными и пр. Но поскольку нашей задачей становится необходимость разобраться в решении систем неравенств, то мы поговорим о системе линейных неравенств.

Однако перед этим следует сказать пару слов об их свойствах.

Свойства неравенств

К свойствам неравенств относятся следующие положения:

  1. Знак неравенства меняется на обратный, если применяется операция по перемене следования сторон (например, если t1 ≤ t2, то t2 ≥ t1).
  2. Обе части неравенства позволяют прибавить к себе одно и то же число (например, если t1 ≤ t2, то t1 + число ≤ t2 + число).
  3. Два и более неравенств, имеющие знак одного направления, позволяют складывать их левые и правые части (например, если t1 ≥ t2, t3 ≥ t4, то t1 + t3 ≥ t2 + t4).
  4. Обе части неравенства позволяют себя умножать или делить на одно и то же положительное число (например, если t1 ≤ t2 и число ≤ 0, то число · t1 ≥ число · t2).
  5. Два и более неравенств, имеющие положительные члены и знак одного направления, позволяют умножать себя друг на друга (например, если t1 ≤ t2, t3 ≤ t4, t1, t2, t3, t4 ≥ 0 то t1 · t3 ≤ t2 · t4).
  6. Обе части неравенства позволяют себя умножать или делить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства меняется (например, если t1 ≤ t2 и число ≤ 0, то число · t1 ≥ число · t2).
  7. Все неравенства обладают свойством транзитивности (например, если t1 ≤ t2 и t2 ≤ t3, то t1 ≤ t3).

Теперь после изучения основных положений теории, относящейся к неравенствам, можно приступить непосредственно к рассмотрению правил решения их систем.

Решение систем неравенств. Общие сведения. Способы решения

Как уже говорилось выше, решением выступают значения переменной, подходящие ко всем неравенствам данной системы.

Решение систем неравенств – это осуществление математических действий, которые в итоге приводят к решению всей системы или доказывают, что у неё решений не имеется.

В таком случае говорят, что переменная относится к пустому числовому множеству (записывается так: буква, обозначающая переменную ∈ (знак “принадлежит”) ø (знак “пустое множество”), например, x ∈ ø (читается так: “Переменная “икс” принадлежит пустому множеству”).

Выделяют несколько способов решения систем неравенств: графический, алгебраический, способ подстановки. Стоит заметить, что они относятся к тем математическим моделям, которые имеют несколько неизвестных переменных. В случае, когда имеется только одна, подойдёт способ интервалов.

Позволяет решить систему неравенств с несколькими неизвестными величинами (от двух и выше). Благодаря данному методу система линейных неравенств решается достаточно легко и быстро, поэтому он является самым распространённым способом. Это объясняется тем, что построение графика сокращает объём написания математических операций.

Особенно становится приятным немного отвлечься от ручки, взять в руки карандаш с линейкой и приступить к дальнейшим действиям с их помощью, когда выполнено много работы и хочется небольшого разнообразия. Однако данный метод некоторые недолюбливают из-за того, что приходится отрываться от задания и переключать свою умственную деятельность на рисование.

Тем не менее, это очень действенный способ.

Чтобы выполнить решение системы неравенств с помощью графического способа, необходимо все члены каждого неравенства перенести в их левую часть. Знаки поменяются на противоположные, справа следует записать ноль, затем нужно записать каждое неравенство отдельно.

В итоге из неравенств получатся функции. После этого можно доставать карандаш и линейку: теперь потребуется нарисовать график каждой полученной функции. Всё множество чисел, которое окажется в интервале их пересечения, будет являться решением системы неравенств.

Алгебраический способ

Позволяет решить систему неравенств с двумя неизвестными переменными. Также неравенства должны обладать одинаковым знаком неравенства (т. е. обязаны содержать либо только знак “больше”, либо только знак “меньше” и пр.) Несмотря на свою ограниченность, этот способ к тому же и более сложный. Он применяется в двух этапах.

Первый включает себя действия по избавлению от одной из неизвестных переменных. Сначала нужно её выбрать, затем проверить на наличие чисел перед этой переменной.

Если их нет (тогда переменная будет выглядеть, как одиночная буква), то ничего не изменяем, если есть (вид переменной будет, например, таким – 5y или 12y), то тогда необходимо сделать так, чтобы в каждом неравенстве число перед выбранной переменной было одинаковым.

Для этого нужно умножить каждый член неравенств на общий множитель, например, если в первом неравенстве записано 3y, а во втором 5y, то необходимо все члены первого неравенства умножить на 5, а второго – на 3. Получится 15y и 15y соответственно.

Второй этап решения. Нужно левую часть каждого неравенства перенести в их правые части с изменением знака каждого члена на противоположный, справа записать нуль.

Затем наступает самое интересное: избавление от выбранной переменной (по-другому это называется “сокращение”) во время складывания неравенств. Получится неравенство с одной переменной, которое необходимо решить.

После этого следует проделать то же самое, только с другой неизвестной переменной. Полученные результаты и будут решением системы.

Способ подстановки

Позволяет решить систему неравенств при наличии возможности ввести новую переменную. Обычно этот способ применяется, когда неизвестная переменная в одном члене неравенства возведена в четвёртую степень, а в другом члене имеет квадрат. Таким образом, данный метод направлен на понижение степени неравенств в системе.

Неравенство образца х4 – х2 – 1 ≤ 0 данным способом решается так. Вводится новая переменная, например, t. Пишут: “Пусть t = х2”, далее модель переписывают в новом виде. В нашем случае получится t2 – t – 1 ≤0.

Это неравенство нужно решить методом интервалов (о нём немного позже), потом обратно вернуться к переменной X, затем проделать то же самое с другим неравенством. Полученные ответы будут решением системы.

Метод интервалов

Это самый простой способ решения систем неравенств, и в то же время он является универсальным и распространённым. Он используется и в средней школе, и даже в высшей.

Его суть заключается в том, что ученик ищет промежутки неравенства на числовой прямой, которая рисуется в тетради (это не график, а просто обычная прямая с числами). Там, где промежутки неравенств пересекаются, находится решение системы.

Чтобы использовать метод интервалов, необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Все члены каждого неравенства переносятся в левую часть с изменением знака на противоположный (справа пишется ноль).
  2. Неравенства выписываются отдельно, определяется решение каждого из них.
  3. Находятся пересечения неравенств на числовой прямой. Все числа, находящиеся на этих пересечениях, будут являться решением.

Какой способ использовать?

Очевидно тот, который кажется наиболее лёгким и удобным, но бывают такие случаи, когда задания требуют определённого метода. Чаще всего в них написано, что нужно решать либо с помощью графика, либо методом интервалов.

Алгебраический способ и подстановка используются крайне редко или не используются вообще, поскольку они достаточно сложные и запутанные, да и к тому же больше применяемы для решения систем уравнений, а не неравенств, поэтому следует прибегать к рисованию графиков и интервалов.

Они привносят наглядность, которая не может не способствовать эффективному и быстрому проведению математических операций.

Если что-то не получается

Во время изучения той или иной темы по алгебре, естественно, могут возникнуть проблемы с её пониманием. И это нормально, ведь наш мозг устроен так, что он не способен уяснить сложный материал за один раз.

Часто требуется перечитать параграф, воспользоваться помощью учителя или заняться практикой по решению типовых заданий. В нашем случае они выглядят, например, так: “Решите систему неравенств 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x – 1 > 3”.

Таким образом, личное стремление, помощь сторонних людей и практика помогают в понимании любой сложной темы.

Решебник?

А ещё очень хорошо подойдёт решебник, только не для списывания домашних заданий, а для самопомощи. В них можно найти системы неравенств с решением, посмотреть на них (как на шаблоны), попытаться понять, как именно автор решения справился с поставленной задачей, а затем попытаться выполнить подобное в самостоятельном порядке.

Выводы

Алгебра – это один из самых сложных предметов в школе. Ну что же тут поделать? Математика всегда была такой: кому-то она даётся легко, а кому-то с затруднением. Но в любом случае следует помнить, что общеобразовательная программа построена так, что с ней может справиться любой ученик. К тому же, надо иметь в виду огромное количество помощников. Некоторые из них были упомянуты выше.

Источник: http://fb.ru/article/340954/sistema-neravenstv---reshenie-sistema-lineynyih-neravenstv

Решение линейных неравенств

Решаем систему неравенств - свойства и методы вычисления

Неравенство это выражение с , ≤, или ≥. Например, 3x – 5 < 6 - 2x является неравенством. Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.

Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений.

Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств

Для любых вещественных чисел а, б, и с:

Принцип прибавления неравенств : Если a < b верно, тогда a + c < b + c также верно.

Принцип умножения для неравенств : Если a < b и c > 0 верно, тогда ac < bc также верно. Если a < b и c < 0 верно, тогда ac > bc также верно. Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.

Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.

a) 3x – 5 < 6 - 2x                       b) 13 - 7x ≥ 10x - 4

            Решение

3x – 5 < 6 - 2x
5x – 5 < 6Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 2x
5x < 11Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 5
x < 11/5Используя принцип умножения для неравенств, умножаем или делим на 5

Любое число, меньше чем 11/5, является решением. Множество решений есть {x|x < 11/5}, или (-∞; 11/5). Изображение множества решений показано ниже. Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y1 = 3x – 5 и y2 = 6 – 2x. Тогда отсюда видно, что для x < 2,2, или x < 11/5, график y1 находится ниже графика y2, или y1 < y2.

13 – 7x ≥ 10x – 4
13 – 17x ≥ -4вычитаем 10x
-17x ≥ -17вычитаем 13
x ≤ 1Делим на 17 и меняем знак неравенства

Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство.

Двойное неравенство, как
-3 < 2x + 5           и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3 < 2x + 5 ≤ 7 является сокращением для предыдущего неравенства.

Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 < 2x + 5 ≤ 7. Постройте график множества решений.

Решение У нас есть

Множество решений есть {x| – 4 < x ≤ 1}, or (-4, 1]. График множества решений изображён ниже. Двойное неравенство, как 2x – 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано без или.

Пример 3 Решите 2x – 5 ≤ -7 или 2x – 5 > 1. Постройте график множества решений.

Решение У нас есть

-3 < 2x + 5 ≤ 7
-8 < 2x ≤ 2Вычитаем 5
-4 < x ≤ 1.Делим на 2

2x – 5 ≤ -7 or 2x – 5 > 1.
2x ≤ -2 or 2x > 6Прибавляем 5
x ≤ -1 or x > 3.Делим на 2

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y1 = 2x – 5, y2 = -7, и y3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 or x > 3}, y1 ≤ y2 or y1 > y3.

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.Для а> 0 и алгебраического выражения x:|x| < a эквивалентно -a < x < a.

|x| > a эквивалентно x < -a или x > a.

Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.Например, |x| < 3 эквивалентно -3 < x < 3;

|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1; и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| < 5                         b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2| < 5

-5 < 3x + 2 < 5Преобразуем в эквивалентное неравенство
-7 < 3x < 3Вычитаем 2
-7/3 < x < 1 Делим на 3

Множеством решением есть {x|-7/3 < x < 1}, или (-7/3, 1). График множества решений изображен ниже.

b) |5 – 2x| ≥ 1

|5 – 2x| ≤ -1 or 5 – 2x ≥ 1Преобразуем в эквивалентное неравенство
-2x ≤ -6 or -2x ≥ -4Вычитаем 5
x ≥ 3 or x ≤ 2Делим на -2 и меняем знак неравенства

Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] [3, ∞) .

График множества решений изображен ниже.

Пример 5Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:План A: \$250 плюс \$10 в час; План B: $20 в час.

Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

Решение

1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов.

Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или\$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле.

Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.

3. Решим неравенство:

20n > 250 + 10n
10n > 250Вычитаем 10n из двух сторон
n > 25Делим на 10 обе стороны

4. Проверка.

Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250, или \$500, и выплаты согласно плану B составят \$20,25, или \$500.

То есть, для работы длительностью менее 25 часов, доход одинаков для каждого плана в разделе Понимание задачи мы видели, что согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов.

Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.
5. Вывод . Для значений, n больше, чем 25 часов, план B является лучшим.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/reshenie-lineinih-neravenstv/index.html

Метод интервалов для целых рациональных неравенств. Часть 1

Решаем систему неравенств - свойства и методы вычисления

Елена Репина 2013-06-09 2015-08-20

Чтобы оценить все могущество метода интервалов, давайте сначала решим несложное неравенство так, как если бы мы его решали, не зная метода интервалов. + показать

Решим неравенство .

Как мы будем рассуждать?

Произведение двух множителей дает знак «+», когда

1) оба множителя положительны;

2) оба множителя отрицательны.

Поэтому предстоит решить совокупность двух систем неравенств:

Решение первой системы:

Решение второй системы:

Итак, нам осталось объединить решения первой и второй систем:

Ответ:

А теперь представьте, если бы у нас было не два множителя, как выше, а три-четыре, а если бы при этом множители представляли из себя многочлены второй степени, например.

Представляете, сколько было бы перебора различных ситуаций?

Метод интервалов для рациональных неравенств

Метод интервалов выручит! Избавит нас от рутины!

Мы ведь понимаем, что любое число – либо отрицательное (-), либо положительное (+), либо ноль.  Где «переход» из одной зоны (+или – ) в другую (- или +)? В нуле!

На рисунке 1 функция обращается в нуль в точках -2; 1; 5  и 7. Именно при переходе через них она и меняет свой знак с одного на другой.

Функция может также коснуться оси (ох), и «не перескочить» в другую зону (как на рисунке 2). В данном случае  точка – корень четной кратности (мы еще поговорим об этом).

В любом случае, если функция попала из одной «зоны» («+,-») в другую («-,+»), – значит она в какой-то точке должна  была обратиться в ноль.

Поэтому-то нули функции и помогут нам!

Итак, давайте выработаем алгоритм, которого будем придерживаться при решении рациональных неравенств.

Алгоритм решения рациональных неравенств

Пусть нам дано неравенство вида , где – один из знаков .

1. Раскладываем на множители (если это возможно*).

2.Находим нули .

3.Отмечаем корни (нули) функции на оси в порядке возрастания.  Эти числа разбивают числовую ось на  интервалы. На каждом из этих интервалов  выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный (или не меняет, если корень – четной кратности, например, в неравенстве     – корень четной кратности, корень – обычный).

4. Расставляем  знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Советую брать «миллиончик» – не промахнетесь (шучу). Нам не важно само значение функции в выбранной точке, но только ЗНАК в ней, поэтому не утруждайте себя подсчетами  – только грубая прикидка.

5. Выбираем подходящие нам промежутки, записываем ответ. Например, если неравенство со знаком «>», то берем интервалы со знаком «+», если неравенство со знаком «

Решение: + показать

1) Попадаем в ситуацию (*) – на множители-то не раскладывается, так как .

2)

3) А отмечать-то нечего на оси 🙁

4) Так значит, меняться знаку негде! Он – либо «+» либо «-» всюду! Берем любое число, например, 0 и смотрим, какой знак в нем принимает выражение . Очевидно, это «+». Поэтому 

5) Ответ: . 

Пример 3.

Решить неравенство:

Решение: + показать

1) Раскладываем первую скобку на множители по формуле разность кубов:

. Заметим, дальше на множители не раскладывается, так как для этого квадратного трехчлена. А значит, эта скобка несет в себе только один знак (не трудно понять, что «+»). То есть, вообще говоря, мы можем поделить обе части исходного неравенства на  . Полученное тогда неравенство равносильно исходному.

Будем дальше решать именно это неравенство:

2) Нули: .

3)-4) Обратите внимание: корень – четной кратности, при переходе через него не будет происходить смена знаков! Ну действительно, знак неравенства определяется только выражением , ведь принимает только «+» (то есть не влияет на знак произведения) или обращается в ноль.

Далее

Обратите внимание – в ответ пойдет и точка {-5}! Так как знак неравенства  нестрогий, мы должны взять и все точки, лежащие на оси.

5) Ответ: {}. 

Вторая скобка: , так как , . Мы воспользовались этим (п. 7) правилом при разложении на множители квадратного трехчлена.

Третья скобка: способ разложения аналогичен способу разложению второй скобки.

2) Нули: , при этом – корни четной кратности.

Источник: https://egemaximum.ru/metod-intervalov/

Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства

Решаем систему неравенств - свойства и методы вычисления

В статье рассмотрим решение неравенств. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств, на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, , . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя – тройными и т.д. Например:a(x) > b(x),a(x) < b(x),

a(x) b(x),

a(x) b(x).a(x) < c(x) < b(x) - двойное неравенство.Неравенства, содержащие знак > или < , называются строгими, а неравенства, содержащие

или – нестрогими.

Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
Решить неравенство” означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств. Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
– +Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.

Ответ будет следующим: x [2; +).

Свойства неравенств

Выделяют три основных свойства неравенств:

  1. Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
  2. Пример:
    Зх + 5 > х2
    равносильно Зх – х2 + 5 > 0, при этом x2 был перенесен с противоположным знаком.

  3. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.
  4. Пример:
    9х – 3 > 12х2
    равносильно 3х – 1 > 4х2, при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

  5. Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.
  6. Пример:
    -2х2 – Зх + 1 < 0 равносильно 2х2 + Зх - 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

Решение систем неравенств

Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым.

Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) записывается следующим образом:Пример.

Требуется решить следующую систему неравенств

Решение:

Система аналогична неравенству х > 1, поэтому ответ: x (1; +).

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым.
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .

Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е.

неравенство не имеет решений при b0, и верно при любых х при b 0, в котром a, b, c – некоторые действительные числа и a0
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства x2 < m и x2 > m
Множество решений неравенства x2 < m:

  1. при m< 0 нет чисел, которые в квадрате дают отрицательное число (т.е. нет решений)
  2. при m>0 x (-; ), т.е. – < x < или m:
    1. при mR (т.е. x – любое действительное число);
    2. при m>0 x (-; – ) (; +), т.е. – < x < - и < x < + или > .

    Решение более сложных квадратных неравенств сводиться к простому переводу выражения вида
    ax2 + bx + c > 0в неравенство

    (x-x1)(x-x2) > 0 , где x1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

    Полученное неравенство мы раскладываем таким же образом на систему простых неравенств и легко находим решение.

    Решение неравенств методом интервалов

    Методом интервалов можно Формулу Неравества вида h(x) > 0 (,) свести к решению уравнения h(x) = 0.
    Данный метод заключается в следующем:

    1. Находится ОДЗ неравенства.
    2. Неравенство приводится к виду h(x) > 0(

    Источник: http://reshit.ru/Reshenie-neravenstv

HelpIcs
Добавить комментарий