Переводим обычную дробь в десятичную – правила и примеры

Содержание
  1. Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно, правила, примеры
  2. Как смешанное число перевести в неправильную дробь
  3. Метод 1 из 5: Деление дробей
  4. Как перевести обычные дроби и проценты в десятичные дроби?
  5. Проверка обычной дроби на возможность перевода ее в десятичную
  6. Рассмотрим примеры:
  7. Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами
  8. Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод
  9. Рассмотрим примеры:
  10. Второй и боле популярный способ переводить дроби в десятичные
  11. Рассмотрим действие на примере:
  12. Как перевести проценты в десятичную дробь: нет ничего проще
  13. Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы
  14. Полезный справочный портал «Калькулятор»
  15. Онлайн-калькулятор на «Математическом ресурсе» Calcs.su
  16. Обыкновенные и десятичные дроби и действия над ними
  17. Зачем нужны дроби?
  18. Что такое «дробь»?
  19. Какие существуют дроби?
  20. Какие подвиды имеют указанные виды дробей?
  21. Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?
  22. Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?
  23. Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?
  24. Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?
  25. Действия с обыкновенными дробями
  26. Действия с десятичными дробями
  27. Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?
  28. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
  29. Основной алгоритм
  30. Более быстрый способ
  31. Что делать с целой частью
  32. Преобразования «на слух»
  33. Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби: не так уж и сложно
  34. Как возникли дроби
  35. Появление простых дробей
  36. Индийские цифры
  37. Позиционная система и десятичные дроби
  38. Двоичная система: математика опять без дробей
  39. Алгоритм перевода обыкновенных дробей в десятичные
  40. Числитель больше знаменателя
  41. Числитель меньше знаменателя

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно, правила, примеры

Переводим обычную дробь в десятичную - правила и примеры

Спасибо Вам за отзыв. Если наш проект вам понравился и вы готовы помочь или принять участие в нём, перешлите информацию о проекте знакомым и коллегам. В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические. Анализ тем «Обыкновенные дроби» и «Десятичные дроби» в учебниках по математике 5–6 классов.

1) Целую часть умножить на знаменатель и к произведению прибавить числитель. Результат записать в числитель. Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.

В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.

При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел, а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого.

Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь. Покажем это на примере. Но к знаменателям 10, 100, 1 000 и т.д.

Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025. В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Начнем с самых простых случаев, когда период дроби есть 0. Периодические дроби с периодом 0 можно заменить равными им конечными десятичными дробями, для этого достаточно отбросить все нули справа.

При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2·5; 100=2·5·2·5; 1000=2·5·2·5·2·5 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.

Так, в случае а) (пример 2) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.

0,(6). Читают: нуль целых, шесть в периоде. После соревнования, при необходимости, напишите в службу поддержки так, как рекомендуется в Положении.

Десятичная запись используется для дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д.

При этом вместо дробей 1/10; 1/100; 1/1000; … пишут 0,1; 0,01; 0,001;… Может случиться так, что сразу после запятой стоит один или несколько нулей: 1,03 — это дробь 1 3/100; 17,0087 — это дробь 17 87/10000.

Сложение производится так же, как и с обычными числами — по соответствующим разрядам. При сложении в столбик слагаемые нужно записывать так, чтобы их запятые находились на одной вертикали. На этой же вертикали окажется и запятая суммы. Совершенно аналогично выполняется и вычитание десятичных дробей.

В полученном результате нужно отделить запятой количество знаков, равное суммарному числу знаков после запятой в обоих множителях. Известно, что в неправильных дробях числитель больше знаменателя.

Но как выделить целое число из неправильной дроби и что это такое? Как провести обратную операцию? 5. Бывает так, что числитель хоть и больше знаменателя, но не делится нацело.

В дроби как раз такая ситуация.

Чтобы правильно записать решение, необходимо убрать плюс между и и получим . Такая сокращенная запись называется смешанным числом. Решение: 1. 2550 рублей надо распределить – разделить на количество рабочих дней. Удобнее всего выполнять деление в столбик.

Число 1 называют целой частью числа , а число — его дробной частью. 1091. Ученик решил 12 уравнений за 40 мин. Сколько минут в среднем он решал каждое уравнение? 1094.

Площадь фигуры равна Выразите площадь фигуры в виде неправильной дроби. Скольким квадратным миллиметрам равна эта площадь? 1096. Бревно, длина которого м, распилили на части, по м в каждой.

1102 Подумайте, сколько полушек в алтыне.

Как смешанное число перевести в неправильную дробь

Как гривенник можно разменять на алтыны и гроши? Сколько сдачи с пятиалтынного надо получить при покупке стоимостью в гривенник и три гроша? Сколько пятаков в четвертаке? 1112 В первой канистре было в 5 раз больше бензина, чем во второй. Весь бензин из этих канистр вылили в пустой бензобак автомашины.

Сравнительный анализ методических подходов к изучению темы «Дроби», их преимущества и недостатки. Требования к подготовленности воспитателя и роль дидактической игры. Вовлечение родителей в деятельность по развитию математических способностей. Становление методики обучения дробным числам. Способности и их связь с умениями и навыками.

Психолого-педагогические основы применения наглядности в обучении школьников младшего подросткового возраста. Разработка комплекта электронных ресурсов для использования их с помощью интерактивной доски Smart Board к теме «Обыкновенные дроби». Сущность понятия «творческие способности» в психолого-педагогической литературе.

Особенности развития математических способностей, преимущества использования дидактических игр в процессе занятий. Понятие «способность» ввел в науку Платон. С.Л.

Рубинштейн в своих работах прослеживает гармоническую и взаимообусловленную связь биологических и социальных факторов развития способностей.

В психологии способности определяются как индивидуальные особенности личности, являющиеся условием успешного выполнения той или иной продуктивной деятельности.

С другой стороны, выступая в качестве условий этого развития. Способности — это такие психологические особенности человека, от которых зависит успешность приобретения знаний, умений и навыков, но которые сами к наличию этих знаний, навыков и умений не сводятся.

Метод 1 из 5: Деление дробей

Способности не существуют вне конкретной деятельности человека, а формирование их происходит в процессе обучения и воспитания.

Самый верный путь определения способностей — это выявление динамики успехов ребенка в процессе обучения. Способности существуют в постоянном процессе развития.

2) в процессе обучения способности ученика, проявляются как его психологические особенности, являющиеся условием успешного приобретения им знаний, умений и навыков.

Источник: http://zdravbaza.ru/perevod-obyiknovennoy-drobi-v-desyatichnuyu-drob-i-obratno-pravila-primeryi/

Как перевести обычные дроби и проценты в десятичные дроби?

Переводим обычную дробь в десятичную - правила и примеры

Зачастую дети, которые учатся в школе, интересуются, для чего в им в реальной жизни может понадобится математика, в особенности те разделы, которые уже заходят намного дальше, чем простой счет, умножение, деление, суммирование и отнимание.

Многие взрослые также задаются данным вопросом, если их профессиональная деятельность очень далека от математики и разнообразных вычислений.

Однако стоит понимать, что ситуации бывают всякие, и порой никак не обойтись без той самой, пресловутой школьной программы, от которой мы так пренебрежительно отказывались в детстве.

К примеру, вовсе не все знают, как перевести дробь в десятичную дробь, а такие знания могут чрезвычайно пригодится, для удобства счета. Для начала, нужно полностью убедиться, что нужная вам дробь может быть преобразована в конечную десятичную. То же самое касается и процентов, которые также можно легко перевести в десятичные дроби.

Проверка обычной дроби на возможность перевода ее в десятичную

Прежде, чем что-либо считать, необходимо убедиться, что полученная в итоге десятичная дробь будет конечной, иначе она окажется бесконечной и высчитать окончательный вариант будет попросту невозможно. Причем бесконечные дроби также могут быть периодическими и простыми, но это уже тема для отдельного раздела.

Это нужно запомнить!

Перевести обыкновенную дробь в ее конечный, десятичный вариант можно только в том случае, если ее уникальный знаменатель способен раскладываться только на множители 5 и 2 (простые множители). Причем даже в том случае, если они повторяются произвольное количество раз.

Уточним, что оба эти числа являются простыми, так в итоге разделить без остатка их можно только на самих себя, или же, на единицу. Таблицу простых чисел можно отыскать без проблем в сети интернет, это вовсе не сложно, хотя непосредственного отношения к нашему счету она и не имеет.

Рассмотрим примеры:

Дробь 7/40 поддается преобразованию из обычной дроби в ее десятичный эквивалент, потому что ее знаменатель можно без труда разложить на множители 2 и 5.

Однако, если первый вариант даст в результате конечную десятичную дробь, то, к примеру, 7/60 уже никак не даст подобного результата, так как ее знаменатель не будет уже раскладываться на искомые нами числа, а будет иметь в числе множителей знаменателя тройку.

Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами

После того, как стало понятно, какие дроби можно переводить из обычных в десятичные, можно приступить, собственно, к самому преобразованию. На самом деле, нет ничего сверхсложного, даже для того, у кого школьная программа окончательно «выветрилась» из памяти.

Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод

Этот способ перевода обычной дроби в десятичную, действительно, является наиболее простым, однако многие люди даже не догадываются о его бренном существовании, так как в школе все эти «прописные истины» кажутся ненужными и не очень-то важными. Между тем, разобраться сможет не только взрослый, но легко воспримет подобную информацию и ребенок.

Итак, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель, равно как и знаменатель, на одно число. Однако все не так просто, так в результате, именно в знаменателе должно получиться 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и так далее, до бесконечности. Не стоит забывать предварительно проверить, точно ли можно данную дробь превратить в десятичную.

Рассмотрим примеры:

Допустим, нам нужно провести преобразование дроби 6/20 в десятичную. Производим проверку:

После того, как мы убедились, что перевести дробь в десятичную дробь, да еще и конечную, все же, возможно, так как ее знаменатель легко раскладывается на двоечки и пятерки, следует приступить к самому переводу. Самым лучшим вариантом, по логике вещей, чтобы умножить знаменатель и получить результат 100, является 5, так как 20х5=100.

Можно рассмотреть дополнительный пример, для наглядности:

Второй и боле популярный способ переводить дроби в десятичные

Второй вариант несколько сложнее, однако он пользуется большей популярностью, ввиду того, что он гораздо проще для понимания. Тут все прозрачно и ясно, потому давайте сразу же перейдем к вычислениям.

Стоит запомнить

Для того, что правильно преобразовать простую, то есть обычную дробь в ее десятичный эквивалент, нужно числитель разделить на знаменатель. По сути, дробь – это и есть деление, с этим не поспоришь.

Рассмотрим действие на примере:

Итак, первым делом, чтобы перевести дробь 78/200 в десятичную, нужно ее числитель, то есть число 78, разделить на знаменатель 200. Но первым делом, что должно войти в привычку, нужно произвести проверку, о которой уже говорилось выше.

После произведения проверки, нужно вспомнить школу и делить числитель на знаменатель «уголком» или «столбиком».

Как видите, все предельно просто, и семи пядей во лбу, чтобы легко решать подобные задачки вовсе быть не требуется. Для простоты и удобства приведем также и таблицу самых популярных дробей, которые просто запомнить, и даже не прилагать усилий, чтобы их переводить.

Как перевести проценты в десятичную дробь: нет ничего проще

Вот наконец дошел ход и до процентов, которые, оказывается, как гласит все та же, школьная программа, можно перевести в десятичную дробь. Причем тут все будет еще гораздо проще, и пугаться не стоит. Справятся с задачей даже те, кто не заканчивал университеты, а пятый класс школы вовсе прогулял и ничего не смыслит в математике.

Начать, пожалуй, нужно с определения, то есть разобраться, что такое, собственно, проценты. Процент – это одна сотая часть от какого-либо числа, то есть, абсолютно произвольно. От сотни, к примеру, это будет единица и так далее.

Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно попросту убрать значок %, а потом разделить само число на сотню.

Рассмотрим примеры:

Причем, чтобы произвести обратную «конвертацию», нужно попросту сделать все наоборот, то есть, число нужно умножить на сотню и приписать к нему значок процента. Точно таким же образом, посредством применения полученных знаний, можно также и обычную дробь перевести в проценты.

Для этого достаточно будет просто сперва преобразовать обычную дробь в десятичную, а потому уже ее перевести в проценты, а также легко можно произвести и обратное действие.

Как видите, ничего сверхсложного нет, все это элементарные знания, которые просто необходимо держать в уме, в особенности, если имеете дело с цифрами.

Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы

Бывает и так, что считать совершенно не хочется, да и попросту нет времени.

Именно для таких случаев, или же, особо ленивых пользователей, в сети интернет есть множество удобных и простых в применении сервисов, которые позволят перевести обычные дроби, а также проценты, в десятичные дроби. Это действительно дорога наименьшего сопротивления, потому пользоваться подобными ресурсами – одно удовольствие.

Полезный справочный портал «Калькулятор»

Для того, чтобы воспользоваться сервисом «Калькулятора», достаточно просто перейти по ссылке http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html, и ввести необходимые числа в нужные поля. Причем ресурс позволяет переводить в десятичные, как обычные, так и смешанные дроби.

После краткосрочного ожидания, приблизительно секунды в три, сервис выдаст конечный результат.

Точно таким же образом можно перевести в обычную дробь десятичную.

Онлайн-калькулятор на «Математическом ресурсе» Calcs.su

Еще одним, очень полезным сервисом можно назвать калькулятор дробей на «Математическом ресурсе. Тут также не придется ничего считать самостоятельно, просто выберите из предложенного списка то, что вам нужно и вперед, за орденами.

Далее, в отведенное специально для этого поле, нужно ввести искомое число процентов, которые и нужно преобразовать в обычную дробь. Причем если вам нужны десятичные дроби, то вы легко можете уже сами справиться с задачей перевода или же воспользоваться тем калькулятором, который для этого и предназначен.

В конечном итоге, стоит обязательно добавить, что сколько бы новомодных сервисов не было бы придумано, сколько ресурсов не предлагали бы вам свои услуги, но и голову тренировать периодически не помешает.

Потому стоит обязательно применять полученные знания, тем более, что вы потом с гордостью сможете помогать делать уроки собственным детям, а затем и внукам.

 Для того же, кто страдает от вечной нехватки времени, подобные онлайн-калькуляторы на математических порталах окажутся как раз кстати и даже помогут понять, как перевести обычную дробь в десятичную.

data-block2=>

Источник: https://sowetu.ru/read/kak-perevesti-obychnye-drobi-i-proczenty-v-desyatichnye-drobi.html

Обыкновенные и десятичные дроби и действия над ними

Переводим обычную дробь в десятичную - правила и примеры

Уже в начальной школе учащиеся сталкиваются с дробями. И потом они появляются в каждой теме. Забывать действия с этими числами нельзя. Поэтому нужно знать всю информацию про обыкновенные и десятичные дроби. Понятия эти несложные, главное – разбираться во всем по порядку.

Зачем нужны дроби?

Окружающий нас мир состоит из целых предметов. Поэтому в долях необходимости нет. Зато повседневная жизнь постоянно наталкивает людей на работу с частями предметов и вещей.

Например, шоколад состоит из нескольких долек. Рассмотрим ситуацию, когда его плитка образована двенадцатью прямоугольниками. Если ее разделить на двоих, то получится по 6 частей. Она хорошо разделится и на троих. А вот пятерым не удастся дать по целому числу долек шоколада.

Кстати, эти дольки – уже дроби. А дальнейшее их деление приводит к появлению более сложных чисел.

Что такое «дробь»?

Это число, состоящее из частей единицы. Внешне оно выглядит как два числа, разделенные горизонтальной или наклонной чертой. Эта черта носит название дробной. Число, записанное сверху (слева), называется числителем. То, что стоит снизу (справа), является знаменателем.

По сути, дробная черта оказывается знаком деления. То есть числитель можно назвать делимым, а знаменатель — делителем.

Какие существуют дроби?

В математике их имеется всего два вида: обыкновенные и десятичные дроби. С первыми школьники знакомятся в начальных классах, называя их просто «дроби». Вторые узнают в 5 классе. Именно тогда появляются эти названия.

Обыкновенные дроби — все те, что записываются в виде двух чисел, разделенных чертой. Например, 4/7. Десятичная — это число, в котором дробная часть имеет позиционную запись и отделяется от целой при помощи запятой. К примеру, 4,7. Учащимся нужно четко уяснить, что два приведенных примера — это совершенно разные числа.

Каждую простую дробь можно записать в виде десятичной. Это утверждение почти всегда верно и в обратном направлении. Существуют правила, которые позволяют записать обыкновенной дробью десятичную дробь.

Какие подвиды имеют указанные виды дробей?

Начать лучше в хронологическом порядке, так как они изучаются. Первыми идут обыкновенные дроби. Среди них можно выделить 5 подвидов.

  1. Правильная. Ее числитель всегда меньше знаменателя.

  2. Неправильная. У нее числитель больше или равен знаменателю.

  3. Сократимая/несократимая. Она может оказаться как правильной, так и неправильной. Важно другое, есть ли у числителя со знаменателем общие множители. Если имеются, то на них полагается разделить обе части дроби, то есть сократить ее.

  4. Смешанная. К ее привычной правильной (неправильной) дробной части приписывается целое число. Причем оно всегда стоит слева.

  5. Составная. Она образуется из двух разделенных друг на друга дробей. То есть в ней насчитывается сразу три дробные черты.

У десятичных дробей есть всего два подвида:

  • конечная, то есть та, у которой дробная часть ограничена (имеет конец);
  • бесконечная — число, у которого цифры после запятой не заканчиваются (их можно писать бесконечно).

Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?

Если это конечное число, то применяется ассоциация, основанная на правиле — как слышу, так пишу. То есть нужно правильно прочитать ее и записать, но уже без запятой, а с дробной чертой.

В качестве подсказки о необходимом знаменателе, нужно запомнить, что он всегда единица и несколько нулей. Последних нужно написать столько, сколько цифр в дробной части рассматриваемого числа.

Как перевести десятичные дроби в обыкновенные, если их целая часть отсутствует, то есть равна нулю? Например, 0,9 или 0,05. После применения указанного правила, получается, что нужно написать ноль целых. Но оно не указывается.

Остается записать только дробные части. У первого числа знаменатель будет равен 10, у второго — 100. То есть указанные примеры ответами будут иметь числа: 9/10, 5/100. Причем последнее оказывается можно сократить на 5.

Поэтому результатом для нее нужно записать 1/20.

Как из десятичной дроби сделать обыкновенную, если ее целая часть отлична от нуля? Например, 5,23 или 13,00108. В обоих примерах читается целая часть и записывается ее значение. В первом случае это — 5, во втором — 13.

Потом нужно переходить к дробной части. С ними полагается провести ту же операцию. У первого числа появляется 23/100, у второго — 108/100000. Второе значение снова нужно сократить.

В ответе получаются такие смешанные дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?

Если она является непериодической, то такую операцию провести не удастся. Этот факт связан с тем, что каждая десятичная дробь всегда переводится или в конечную или в периодическую.

Единственное, что допускается делать с такой дробью, — это округлять ее. Но тогда десятичная будет приблизительно равно той бесконечной. Ее уже можно превратить в обыкновенную. Но обратный процесс: перевод в десятичную — никогда не даст начального значения. То есть бесконечные непериодические дроби в обыкновенные не переводятся. Это нужно запомнить.

Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?

В этих числах после запятой всегда появляются одна или несколько цифр, которые повторяются. Их называют периодом. Например, 0,3(3). Здесь «3» в периоде. Их относят к классу рациональных, так как могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.

Тем, кто встречался с периодическими дробями, известно, что они могут быть чистыми или смешанными. В первом случае период начинается сразу от запятой. Во втором — дробная часть начинается с каких-либо цифр, а потом начинается повтор.

Правило, по которому нужно записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную, будет разным для указанных двух видов чисел. Чистые периодические дроби записать обыкновенными достаточно просто. Как с конечными, их нужно преобразовать: в числитель записать период, а знаменателем будет цифра 9, повторяющаяся столько раз, сколько цифр содержит период.

Например, 0,(5). Целой части у числа нет, поэтому сразу нужно приступать к дробной. В числитель записать 5, а в знаменатель одну 9. То есть ответом будет дробь 5/9.

Правило о том, как записать обыкновенной десятичную периодическую дробь, являющуюся смешанной.

  • Сосчитать цифры дробной части до периода. Они будут указывать количество нулей в знаменателе.
  • Посмотреть на длину периода. Столько 9 будет иметь знаменатель.
  • Записать знаменатель: сначала девятки, потом нули.
  • Чтобы определить числитель, нужно записать разность двух чисел. Уменьшаемым будут все цифры после запятой, вместе с периодом. Вычитаемым — оно же без периода.

Например, 0,5(8) – запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной. В дробной части до периода стоит одна цифра. Значит ноль будет один. В периоде тоже только одна цифра — 8. То есть девятка одна. То есть в знаменателе нужно написать 90.

Для определения числителя из 58 нужно вычесть 5. Получается 53. Ответом к примеру придется записать 53/90.

Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?

Самым простым вариантом оказывается число, в знаменателе которого стоит число 10, 100 и прочее. Тогда знаменатель просто отбрасывается, а между дробной и целой частями ставится запятая.

Бывают ситуации, когда знаменатель легко превращается в 10, 100 и т. д. Например, числа 5, 20, 25. Их достаточно умножить на 2, 5 и 4 соответственно. Только умножать полагается не только знаменатель, но и числитель на то же число.

Для всех остальных случаев пригодится простое правило: разделить числитель на знаменатель. В этом случае может получиться два варианта ответов: конечная или периодическая десятичная дробь.

Действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

С ними учащиеся знакомятся раньше других. Причем сначала у дробей одинаковые знаменатели, а потом разные. Общие правила можно свести к такому плану.

  1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей.

  2. Записать дополнительные множители ко всем обыкновенным дробям.

  3. Умножить числители и знаменатели на определенные для них множители.

  4. Сложить (вычесть) числители дробей, а общий знаменатель оставить без изменения.

  5. Если числитель уменьшаемого меньше вычитаемого, то нужно выяснить, перед нами смешанное число или правильная дробь.

  6. В первом случае у целой части нужно занять единицу. К числителю дроби прибавить знаменатель. А потом выполнять вычитание.

  7. Во втором — необходимо применить правило вычитания из меньшего числа большее. То есть из модуля вычитаемого вычесть модуль уменьшаемого, а в ответ поставить знак «-».

  8. Внимательно посмотреть на результат сложения (вычитания). Если получилась неправильная дробь, то полагается выделить целую часть. То есть разделить числитель на знаменатель.

Умножение и деление

Для их выполнения дроби не нужно приводить к общему знаменателю. Это упрощает выполнение действий. Но в них все равно полагается следовать правилам.

  1. При умножении обыкновенных дробей необходимо рассмотреть числа в числителях и знаменателях. Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, то их можно сократить.

  2. Перемножить числители.

  3. Перемножить знаменатели.

  4. Если получилась сократимая дробь, то ее полагается снова упростить.

  5. При делении нужно сначала заменить деление на умножение, а делитель (вторую дробь) — на обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

  6. Потом действовать, как при умножении (начиная с пункта 1).

  7. В заданиях, где умножить (делить) нужно на целое число, последнее полагается записать в виде неправильной дроби. То есть со знаменателем 1. Потом действовать, как было описано выше.

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание

Конечно, всегда можно превратить десятичную дробь в обыкновенную. И действовать по уже описанному плану. Но иногда удобнее действовать без этого перевода. Тогда правила для их сложения и вычитания будут совершенно одинаковыми.

  1. Уравнять число цифр в дробной части числа, то есть после запятой. Приписать в ней недостающее количество нулей.

  2. Записать дроби так, чтобы запятая оказалась под запятой.

  3. Сложить (вычесть) как натуральные числа.

  4. Снести запятую.

Умножение и деление

Важно, что здесь не нужно дописывать нули. Дроби полагается оставлять в том виде, как они даны в примере. А дальше идти по плану.

  1. Для умножения нужно написать дроби одна под другой, не обращая внимание на запятые.

  2. Умножить, как натуральные числа.

  3. Поставить в ответе запятую, отсчитав от правого конца ответа столько цифр, сколько их стоит в дробных частях обоих множителей.

  4. Для деления нужно сначала преобразовать делитель: сделать его натуральным числом. То есть умножить его на 10, 100 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр в дробной части делителя.

  5. На то же число умножить делимое.

  6. Разделить десятичную дробь на натуральное число.

  7. Поставить в ответе запятую в тот момент, когда закончится деление целой части.

Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?

Да в математике часто встречаются примеры, в которых нужно выполнить действия над обыкновенными и десятичными дробями. В таких заданиях возможны два пути решения. Нужно объективно взвесить числа и выбрать оптимальный.

Первый путь: представить обыкновенные десятичными

Он подходит, если при делении или переводе получаются конечные дроби. Если хотя бы одно число дает периодическую часть, то этот прием применять запрещено. Поэтому, даже если не нравится работать с обыкновенными дробями, придется считать их.

Второй путь: записать десятичные дроби обыкновенными

Этот прием оказывается удобным, если в части после запятой стоят 1-2 цифры. Если их больше, может получиться очень большая обыкновенная дробь и десятичные записи позволят сосчитать задание быстрее и проще. Поэтому всегда нужно трезво оценивать задание и выбирать самый простой метод решения.

Источник: http://fb.ru/article/320814/obyiknovennyie-i-desyatichnyie-drobi-i-deystviya-nad-nimi

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Переводим обычную дробь в десятичную - правила и примеры

1 января 2017

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

\[0,75=\frac{3}{4};\quad 1,33=1\frac{33}{100};\quad -7,41=-7\frac{41}{100}\]

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

  1. Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель. Например:

    \[0,75=\frac{0,75}{1};\quad 1,33=\frac{1,33}{1};\quad -7,41=\frac{-7,41}{1}\]

  2. Умножаем числитель и знаменатель полученной дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не исчезнет запятая. Напомню: при каждом умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак. Разумеется, поскольку знаменатель тоже умножается, там вместо числа 1 будут появляться 10, 100 и т.д. Примеры:Алгоритм перехода к обычным дробям
  3. Наконец, сокращаем полученную дробь по стандартной схеме: делим числитель и знаменатель на те числа, которым они кратны. Например, в первом примере 0,75=75/100, при этом и 75, и 100 делятся на 25. Поэтому получаем $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{3}{4}$ — вот и весь ответ.:)

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:

Примеры перехода от десятичной записи дробей к обычной

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

  1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
  2. Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac{a}{{{10}{n}}}$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
  3. По возможности сократить полученную дробь.

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

\[0,64=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}\]

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: ${{10}{n}}={{10}{2}}=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Ещё один пример:

\[0,004=\frac{4}{1000}=\frac{1}{250}\]

Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на ${{10}{n}}={{10}{3}}=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

\[1,88=\frac{188}{100}=\frac{47}{25}=\frac{25+22}{25}=1\frac{22}{25}\]

Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

\[0,88=\frac{88}{100}=\frac{22}{25}\]

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

\[\frac{22}{25}\to 1\frac{22}{25}\]

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

\[\begin{align}& 2,15\to 0,15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\to 2\frac{3}{20}; \\& 13,8\to 0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\to 13\frac{4}{5}. \\\end{align}\]

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Преобразования «на слух»

Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

\[0,004=4:1000=\frac{4}{1000}=\frac{1}{250}\]

Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

\[2,5=2\frac{5}{10}=2\frac{1}{2}\]

А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

\[1,125=1\frac{125}{1000}=1\frac{1}{8}\]

В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 103, а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

\[\begin{align}& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end{align}\]

Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/kak-perevesti-desyatichnuyu-drob-v-obiknovennuyu/

Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби: не так уж и сложно

Переводим обычную дробь в десятичную - правила и примеры

Как перевести дробь в десятичную? В наше время, когдавычислительные средства электроники всегда под рукой, простые дроби многимкажутся анахронизмом, а вопрос об их переводе – неуместным. Тем не менее,простые дроби упрямо продолжают существовать. В известном MS Office естьспециальные значки 3/4, 1/3 и т.п.

Но если все знают, что 3/4 = 0,75, то запись 1/3 = 0,3333…или 1/3 = 0,(3) может вызвать недоумение у человека, отвыкшего считать безкалькулятора, даже если он в свое время успешно прошел школьный курсарифметики.

Так нужно ли уметь переводить дроби друг в друга? Что-то тампомнится из пятого класса, это такая скука… Не такая уж и скука, между прочим,и может пригодиться. Для начала обратимся к истории.

Как возникли дроби

Впервые дроби появились в Древнем Вавилоне где-то за 2000лет до новой эры и были шестидесятиричными: их знаменатель равнялся 60.Математикой в Вавилоне занимались жрецы, они же в своих занятиях столкнулись сослучаями, когда нужно было знать соотношение чисел, друг на друга не делящихся.

Жрецы просто подобрали число, которое достаточно развитыйчеловек еще может удержать в уме, имеющее максимальное количество простыхделителей. В самом деле, 60 делится и на 2, и на 3, и на 5, и соответственно,на все кратные им числа без остатка. Знаменатель 60 вавилонских дробей былсвоего рода эталоном для сравнения чисел.

Но для средних умов – купцов, ремесленников, строителей –основание 60 было все же слишком большим. И плохо согласовывалось с удобным дляпрактики счетом на пальцах рук, которых 10. Да и особых значков для цифр тогдаеще не было; все действия записывались словами. Представляете? Лучше не надо.

Появление простых дробей

Следующий шаг сделали древние греки, которые свелиматематику к геометрическим построениям. Это было, по тем временам, оченьнаглядно. Развел ножки циркуля, отложил отрезок пять раз. Затем его же – семьраз. И сразу видно, какой насколько больше. Расположил отрезки параллельно наопределенном расстоянии, провел прямые через их концы – видно, какой уголполучился.

Современному человеку, даже специалисту, трудно представитьсебе такую математику, поэтому многие грандиозные сооружения и замечательныемашины древности приписываются сегодня то ли инопланетянам, то ли атлантам, толи еще кому-то, кроме тех людей, которые их на самом деле сделали.

Геометризация математики позволяла сравнивать безкакого-либо выделенного эталона любые числа, делятся они друг на друга или нет.Поэтому дроби стали простыми: 3/11; 123/768 и т.п.

До поры, до времени, пока для практики не требовались оченьбольшие и очень малые числа, простые дроби были вне конкуренции.

Индийские цифры

Революцию в математике произвели не позднее V в. н. э.индийцы, придумав отдельные значки для цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Онишли от того же счета на пальцах, поэтому и значков придумали 10, а не 12 или60.

Достаточно удобно – два простых делителя, 2 и 5 – и без труда можетзапомнить любой. 12 (дюжина) перед 10 не имеет преимущества, т.к. у него тожедва простых делителя: 2 и 3, а значков для записи требуется на два больше.

Не позднее VII в. индийские цифры пришли в Китай и к арабам,а от тех, в Х в. – в Европу. Поэтому у нас индийские цифры называютсяарабскими.

Позиционная система и десятичные дроби

Индийские цифры позволяли записывать любое, сколь угоднобольшое число в т. наз. позиционной системе. Каждая цифра слева от предыдущейсчиталась умноженной на 10. 458 = 4х10х10 + 5х10 + 8. 10 в таком случае –основание системы счисления. И оно же самым естественным образом становилось универсальнымзнаменателем дробей, вроде вавилонского 60, но доступным обычному уму.

Появление позиционной системы во многом способствовалопрогрессу науки и техники. Геометрия циркуля и линейки тут выдохлась – ееточность была ограниченной. А математика становилась все более изощренной иоперировала все более абстрактными понятиями.

В 1617 г.английский математик Непер предложил целую (основание) и дробную (мантиссу)часть десятичной дроби разделять запятой, а знаменатель 10 не писать вовсе, разон везде один и тот же.

Теперь десятичной дробью можно было записывать и скольугодно малые числа. А для невообразимо малых позже придумали экспоненциальнуюформу записи. Скажем, 7,37Е-7 будет 0,000000737.

Она же оказалась удобной дляотображения на дисплеях электронных устройств.

Есть ли у простых дробей будущее? Казалось бы, нет. Куда там, если даже десятичные отступаютпод натиском процентов. Но не так-то все просто.

Двоичная система: математика опять без дробей

Цифровые компьютеры работают в системе счисления с основанием2 (двоичной). В ней всего две цифры – 0 и 1; включено/выключено; верно/неверно,а каждая «левая» цифра считается умноженной на 2 относительно «правой». Переводдвоичного кода в обычные десятичные числа делают специальные программы.

Кстати, в двоичной системе дробей вовсе нет, т.к. 1 на себявсегда делится с результатом тоже 1.

Развитие компьютерной техники идет по пути все большейнаглядности результатов. Если в 50-х годах специалист по ЭВМ обязан был уметьчитать двоичный код на перфоленте так же, как обычные цифры на бумаге, тотеперь он же на цифровую распечатку может и не взглянуть – на дисплее ясновидно, в геометрических образах, как идет процесс.

Остается только удивляться гению древних греков, сразупоставивших наглядность во главу угла. Что бы они натворили, будь у нихкомпьютеры?

Алгоритм перевода обыкновенных дробей в десятичные

Перевод обыкновенных дробей в десятичные делаетсяпоследовательным делением числителя на знаменатель, затем остатка, умноженногона 10, опять на знаменатель, следующего остатка, опять умноженного на 10, снована знаменатель, и так до тех пор, пока остатка не останется, либо не выявитсяпериод десятичной дроби, либо не будет достигнута заданная точность.

Числа, получившиеся до первого остатка, пишем до запятой;они дадут основание десятичной дроби.

Числа, получившиеся от деления остатков, умноженных на 10,пишем после запятой. Они дадут мантиссу.

Скажем сразу: не всякую простую дробь можно перевести вдесятичную точно. Если знаменатель делится на 3, 7 или другое, не кратное 2 или5, число, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь.

Период такойдроби принято брать в круглые скобки. Скажем, 2/3 = 0,(6). Либо округлять сзаданной точностью, наподобие 0,6667. Период может оказаться очень длинным,тогда останавливаются на следующем, после достижения заданной точности, знаке.

2/3 с точностью в 1% будет 0,667.

Есть числа, которые невозможно выразить отношением любыхцелых чисел. Математики называют их иррациональными. Это всем известное ПИ –отношение длины окружности к ее диаметру, основание натурального логарифма е идругие. Такие числа записываются бесконечной непериодической десятичной дробью.Останавливаются по достижении нужной точности + один следующий знак.

Числитель больше знаменателя

Допустим, есть дробь 362/128.

  1. 362:128 = 2 + 106 в остатке (362 = 128х2 + 106 = 256+106). Мантисса десятичной дроби будет равна 2, т.к. сразу же получилсяостаток.
  2. 106х10 = 1060:128 = 1060 – (128х8 = 1024) = 8 + 36 востатке. 8 – первая цифра после запятой.
  3. 36х10 = 360:128 = 2 + 104 в остатке. 2 – вторая цифрапосле запятой.
  4. 1040:128 = 8 + 16 в остатке. 8 – третья цифра послезапятой.
  5. 160:128 = 1 + 32 в остатке. 1 – четвертая цифра послезапятой.
  6. 320:128 = 2 + 64 в остатке. 2 – пятая цифра после запятой.
  7. 640:128 = 5 – шестая цифра после запятой, остатка неосталось, и мы имеем 362/128 = 2,828125.

Числитель меньше знаменателя

Считаем числитель первым остатком. Сразу умножаем его на 10,и пишем ноль с запятой (0, ). Если числитель опять меньше знаменателя, считаемего вторым остатком, умножаем опять на 10 (всего 100), а после запятойдописываем еще ноль, и так далее, пока не получим числитель больше знаменателя.Тогда делим, как в примере первом.

3/8 = ?. 3х10 = 30; 30:8 = 3 + 6 в остатке; 6х10 = 60; 60:8= 7 + 4 в остатке; 4х10 = 40; 40:8 = 5.

3/8 = 0,375.

Тогда 3/80 будет 0,0375; 3/800 = 0,00375 и т.д.

Нули после запятой до первой отличной от нуля цифры –незначащие, а первая отличная от нуля цифра после запятой и следующие за нейназываются значащими. Если дописывать после последней значащей цифры нули, онизначащими не будут.

Если проделать описанную процедуру для дроби, допустим, 9/14(вспомним, 14 делится на 7), то получим 0,64285714285714285714… Числа вмантиссе …285714… будут повторяться до бесконечности; у нас получиласьбесконечная периодическая десятичная дробь. Такую дробь для полной точностизаписывают так: 0,64(285714).

Иррациональное число при переводе обычных дробей вдесятичные получиться не может, т.к. иррациональные числа отношением целыхчисел не выражаются. Если мы считаем и считаем, а периода все не видно, значит,он слишком длинный и нужно остановиться на заданной точности.

Есть правило: чем больше у знаменателя простых делителей,тем длиннее окажется период. А простые делители – это делители из простыхчисел, которые делятся только на самих себя и на 1. 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13,17, 23, 29 – это все простые числа. Математики до сих пор не знают, конечно ликоличество простых чисел и по каким законам они распределяются в числовом ряду.

Не правда ли, хоть и сложновато, но вовсе не так уж и скучно?

Источник: https://www.rutvet.ru/in-perevod-obyknovennyh-drobey-v-desyatichnye-drobi-ne-tak-uzh-i-slozhno-4400.html

HelpIcs
Добавить комментарий