О расстоянии между двумя точками прямой – решение задач

Содержание
  1. Расстояние от точки до прямой расстояние между параллельными прямыми задачи | Помощь школьнику
  2. Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения
  3. Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение
  4. Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения
  5. Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения
  6. Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение
  7. Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения
  8. Разработка уроков по теме: «Расстояние от точки до прямой» «Расстояние между параллельными прямыми» (стр. 3 )
  9. Товары
  10. Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения
  11. Расстояние между точками на координатной прямой
  12. Расстояние между точками на плоскости
  13. Расстояние между точками в пространстве
  14. Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
  15. Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения
  16. Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве
  17. Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве
  18. Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве
  19. Компьютерная графика :: Теория 2D :: Математическое задание прямой на плоскости
  20. Угол между прямыми
  21. Точка пересечения двух прямых

Расстояние от точки до прямой расстояние между параллельными прямыми задачи | Помощь школьнику

О расстоянии между двумя точками прямой - решение задач

Ответ для тех, кто пока не умеет вычислять производных, например, для учеников 9 класса. Уравнение прямой I, параллельной прямой y=5x-1 имеет вид y=5x-a. Поскольку речь идет об единственной точке касания, можем составить систему, для которой у и х одни и те же (координаты.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1 , опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1 . Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи.

В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других — признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т. п.

Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — Чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

    определить координаты некоторой точки М1 , лежащей на прямой a (или на прямой b ); вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a ).

С определением координат точки М1 , лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

Покажем вывод этой формулы.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Второй способ решения.

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1 , опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1 . Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи.

В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других — признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т. п.

Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — Чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

    определить координаты некоторой точки М1 , лежащей на прямой a (или на прямой b ); вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a ).

С определением координат точки М1 , лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

Покажем вывод этой формулы.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Второй способ решения.

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Разработка уроков по теме: «Расстояние от точки до прямой» «Расстояние между параллельными прямыми» (стр. 3 )

Возьмем точку, которая лежит на прямой A, тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению, то есть, справедливо равенство, откуда имеем.

Если, то нормальное уравнение прямой B имеет вид, а если, то нормальное уравнение прямой B имеет вид.

Тогда при расстояние от точки до прямой B вычисляется по формуле, а при — по формуле

То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой B можно вычислить по формуле. А если учесть равенство, которое было получено выше, то последняя формула примет вид. Теорема доказана.

2.Решение задач на нахождение расстояния между параллельными прямыми

Найдите расстояние между параллельными прямыми и Решение.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Для прямой соответствует общее уравнение прямой. Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных X и Y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

Ответ:

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и. Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Первый способ решения.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М1, лежащей на этой прямой: . Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано. Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: .

Коэффициенты при переменной X в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной Y коэффициенты тоже равны — они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Задачи для самопроверки

1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Все поставленные цели и задачи выполнены полностью. Разработаны два урока из раздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми» с помощью метода координат. Материал подобран на доступном для учащихся уровне, что позволит решать задачи по геометрии более простыми и красивыми методами.

1) , , , , Юдина. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.

2) , , , , Позняк. Учебник для 10-11 классов средней школы.

3) , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

4) , Позняк геометрия.

Где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами Нормального вектора прямой ( т. е. вектора, перпендикулярного прямой ). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси ОY .

При В0 получаем Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку ( Х0 , У 0 ) и не параллельной оси OY , имеет вид:

Где MУгловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А 0, В0 и С0 получаем Уравнение прямой в отрезках на осях:

Где A = – C / A , B = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( A , 0 ) и ( 0, B ), т. е. отсекает на осях координат отрезки длиной A и B .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( Х1, У 1 ) и ( Х2, У 2 ):

Параметрическое уравнение прямой , проходящей через точку ( Х0 , У 0 ) и параллельной Направляющему вектору прямой ( A , B ) :

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

УголМежду прямыми:

Обзоры сервисов Pandia. ru

Товары

Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов.

Источник: http://poiskvstavropole.ru/2018/02/08/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoj-rasstoyanie-mezhdu-parallelnymi-pryamymi-zadachi/

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

О расстоянии между двумя точками прямой - решение задач

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна  11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

  • 0, если точка совпадает с началом координат;

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.

– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA

– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник АВС  является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay,  Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение:

AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

– точки совпадают;

– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Пример 1

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.

Решение

  1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
  2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22

Ответ: OA=2-1, AB=10+22

Пример 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней   A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2

Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16

А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:

λ2+16=5λ2+16=25λ=±3

Ответ:  АВ = 5, если λ=±3 .

Пример 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки  A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .

Решение

 Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9 

Ответ: |АВ| = 9

Источник: https://www.Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/rasstojanie-mezhdu-tochkami/

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения

О расстоянии между двумя точками прямой - решение задач

Пустьв трехмерном пространстве зафиксированапрямоугольная система координат Oxyz,задана точка ,прямая a итребуется найти расстояние от точки А допрямой a.

Покажемдва способа, позволяющих вычислятьрасстояние от точки до прямой впространстве.

В первом случае нахождениерасстояния от точки М1 допрямой a сводитсяк нахождению расстояния от точки М1 доточки H1,где H1 -основание перпендикуляра, опущенногоиз точкиМ1 напрямую a.Во втором случае расстояние от точкидо плоскости будем находить как высотупараллелограмма.

Итак,приступим.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве

Таккак по определению расстояние отточки М1 допрямой a –это длина перпендикуляраM1H1,то, определив координаты точки H1,мы сможем вычислить искомое расстояниекак расстояние между точками и поформуле .

Такимобразом, задача сводится к нахождениюкоординат основания перпендикуляра,построенного из точки М1 кпрямой a.Сделать это достаточно просто: точка H1 –это точка пересечения прямой a сплоскостью, проходящей черезточку М1 перпендикулярнок прямой a.

Следовательно, алгоритм,позволяющий определять расстояние отточкидопрямойaвпространстве,таков:

  • составляем уравнение плоскости как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a;
  • определяем координаты точки H1 – точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскоти);
  • вычисляем требуемое расстояние от точки М1 до прямой a по формуле .

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве

Таккак в условии задачи нам задана прямая a,то мы можем определить ее направляющийвектор икоординаты некоторойточки М3,лежащей на прямой a.Тогда по координатам точек и мыможем вычислить координаты вектора : (принеобходимости обращайтесь к статьекоординатывектора через координаты точек егоначала и конца).

Отложимвекторы и отточки М3 ипостроим на них параллелограмм. В этомпараллелограмме проведем высоту М1H1.

Очевидно,высота М1H1 построенногопараллелограмма равна искомому расстояниюот точкиМ1 допрямой a.Найдем .

Содной стороны площадь параллелограмма(обозначим ее S)может быть найдена черезвекторноепроизведение векторов и поформуле .

С другой стороны площадь параллелограммаравна произведению длины его сторонына высоту, то есть, ,где – длинавектора ,равная длине стороны рассматриваемогопараллелограмма.

Следовательно,расстояние отзаданной точки М1 дозаданной прямой a можетбыть найдена из равенства как .

Итак, чтобынайти расстояние от точкидопрямойaвпространстве нужно

  • определить направляющий вектор прямой a () и вычислить его длину ;
  • получить координаты некоторой точки М3, лежащей на прямой a, вычислить координаты вектора , найти векторное произведение векторов и как и получить его длину ;
  • вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Рассмотримрешение примера.

Пример.

Найдитерасстояние от точки допрямой .

Решение.

Первыйспособ.

Напишемуравнение плоскости ,проходящей через точку М1 перпендикулярнозаданной прямой:

Найдемкоординаты точки H1 -точки пересечения плоскости изаданной прямой. Для этого выполним переходот канонических уравнений прямой куравнениям двух пересекающихсяплоскостей

послечего решим систему линейныхуравнений методомКрамера:

Такимобразом, .

Осталосьвычислить требуемое расстояние от точкидо прямой как расстояние междуточками и :.

Второйспособ.

Числа,стоящие в знаменателях дробей вканонических уравнениях прямой,представляют собой соответствующиекоординаты направляющего вектора этойпрямой, то есть, -направляющий вектор прямой .Вычислим его длину: .

Очевидно,что прямая проходитчерез точку ,тогда вектор с началом в точке иконцом в точке есть .Найдем векторное произведениевекторов и :тогдадлина этого векторного произведенияравна .

Теперьмы располагаем всеми данными, чтобывоспользоваться формулой для вычислениярасстояния от заданной точки до заданнойплоскости: .

Ответ:

.

Взаимноерасположение прямых в пространстве

http://mathus.ru/math/ll.pdf

Источник: https://StudFiles.net/preview/6022616/page:7/

Компьютерная графика :: Теория 2D :: Математическое задание прямой на плоскости

О расстоянии между двумя точками прямой - решение задач

В данной статье речьпойдет о задании идеальной прямой линии и отрезка. Понятие прямой линииявляется в геометрии исходным и определяется аксиомами геометрии лишь косвенно.В нашей геометрической модели можно отталкиваться от понятия расстояния междудвумя точками. Прямой линией будем называть линию, путь вдоль которой равенрасстоянию между двумя точками.

Прим. В конкретной статье не будемпытаться строго определить геометрию, т.к. рассматривается практическая сторонавопроса. Но вместе с тем, хочется подчеркнуть, что строгое введениерассматриваемых понятий не является тривиальным.

Прим.

Пока рассматриваются идеальные геометрические объекты, точкикоторых могут иметь произвольные действительные координаты.

Рассмотрим как задаетсяпрямая линия.

Ax + By + C = 0

Это уравнение позволяетзадать абсолютно любую прямую на плоскости. При этом коэффициенты

A

и

B

могут обращаться в нуль, но неодновременно:

A

2

+

B

2

> 0

Тройка чисел

(A, B, C)

представляет собой однородные координаты любой прямой плоскости в двумерном пространстве всех прямыхплоскости. Однородные координаты в данном случае избыточны, т.к. прямуюможно задать двумя числами. Принять один из коэффициентов

A, B

или

C

заединицу нельзя, так как возможен вариант равенства выбранного коэффициентанулю. Предлагается выбрать набор, в котором

A

2

+

B

2

= 1, A= B > 0 или A > B

Это всегда возможносделать, так как сумма квадратов

A

2

+

B

2

положительна, следовательно,на неё можно разделить обе части уравнения прямой с произвольнымикоэффициентами.

Прим.

Ниже не будет использоваться факт равенства суммы квадратов

A

и

B

единице, чтобы сохранить универсальность предложенныхформул.

Любая прямая однозначноопределяется двумя различными точками. Пусть имееются точки

p1(

x

1,

x

2)

и

p

2(

x

2,

y

2)

. Рассмотрим, как по нимполучить уравнение прямой.

Ax

1

+

By

1

+

C

= 0

Ax

2

+

By

2

+

C

= 0

Вычитая, получаем

A(x1 – x2) +

B

(

y

1

y

2

) = 0

Видно, что

A

= (

y

1

y

2

)

и

B

= -(

x

1

x

2

)

удовлетворяют этому уравнению:

(

y

1

y

2

)

(x1 – x2)

– (x1 – x2)(y1 – y2) = 0

Т.о.

A

и

В

найдены.

C

получается из первого уравнения:

C

= -(

y

1

y

2

)

x

1

+ (

x

1

x

2

)

y

1

Существует более простаяформа записи для запоминания, которая дает аналогичный результат (с точностьюдо знака):

x

 –

x

1

=

y

 –

y

1

x

2

x

1

y

2

y

1

Геометрический смыслвектора

(

A

,

B

)

это вектор нормали к данной прямой. Данный факт легкопроверить, если скалярно умножить

n(

A

,

B

)

на направляющий вектор

l

(

x

2 –

x

1,

y

2 –

y

1)

, который задает направление вдоль прямой.

Заметим, что в случае,когда коэффициент

B

не равен

0

на него можно разделить:

y = -(A / B)x – (C / B)

или

y = kx + b

При построении прямых этаформа записи более удобна, чем предыдущая. Она позволяет явно показатьсоотвествие между

x

и

y

. Но, в отличие от математики, мы будем использовать ивариант:

x

=

kxy

+

bx

При растеризации важно,чтобы коэффициент

k (

kx

)

был меньше единицы. Тогда при изменении аргумента на

1

функция меняется не более чем на единицу. Тем самым будет обеспечиватьсясвязность.

Пример, когда выбран

k > 1

:

Остаются два случая горизонтальной и вертикальной прямых. Они рассматриваются отдельно и для них алгоритмы растеризации очевидны. Определение.

Расстоянием от точки A по прямой p называется величина,определяемая равенством:
 
r(A, p) = min r(A, B), где B – точка прямой p
 
Возможны несколькоподходов к решению задачи нахождения расстояния:
 

  • аналитический: уравнение прямой записывается в параметрическом виде:

x = x(t)
y = y(t)
 
Затем выписываетсяфункция расстояния r(t) от точки А до точки прямой p,определяемой параметром t, и ищется минимум. Далее считается расстояние между точкой A и точкой прямой, соответствующейминимуму функции. Оно и будет искомым по определению расстояния.
 
Описанный подход решаетзадачу ”в лоб” и является довольно трудоемким.
 

  • геометрический: этот подход использует тот факт, что кратчайший отрезок между точкой А и точками прямой p принадлежит прямой, перпендикулярной исходной прямой p и проходящей через точку А.

Записываем уравнение прямой q, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой p.  Ищем точку B пересечения прямых p и q. Искомым будет расстояние |AB|.
 
Этот способ менее трудоемок, чем предыдущий и будет подробно рассмотрен в курсе теоретической геометрии.  

  • векторный: описание решения поставленной задачи с помощью этого способа довольно объемное, но оно лучше всего отражает суть вещей.  

Любую прямую, параллельную заданной, можно, при фиксированных A и B, задать свободным членом С. Прямая, проходящая через начало координат имеет С = 0. Заметим, что расстояния от точки А до любой из этих прямых различаются на некоторую величину, непосредственно связанную с С.

Таким образом, задачу отыскания расстояния можно разбить на две:

  1. найти расстояние от заданной точки A, до прямой p0, параллельной данной и проходящей через начало координат;
  2. найти расстояние от данной прямой p, до прямой p0.

Прим. В данном контексте “расстояния” могут быть отрицательными, т.к. С на последнем рисунке являетсянаправленной осью.

Чтобы получить расстояние в классическом смысле надопоставить модуль. Направленные расстояния будут встречаться в дальнейшем. Hапример, при определении, лежит точка внутри треугольника или вне.
 
Прим. В рассуждениях ниже будет использоваться тот факт, что вектор (A, B) нормален прямой, задаваемой уравнением Ax + By + C = 0.

 

  1. найти расстояние от заданной точки A, до прямой p0, параллельной данной и проходящей через начало координат:

Тогда расстоянием, в заданном смысле, будет проекция вектора OA на вектор n(A, B), равная:

(x, y) * (A, B) =    Ax + By   
   |(A, B)|       sqrt(A2 + B2)
 
Прим. Здесь и далее, sqrt (сокращение от английского square root) обозначает квадратный корень.  

  1. найти расстояние от данной прямой p, до прямой p0:  

 
Рассмотримслучай, когда прямая p имеетпересечение с осью Ox (случай горизонтальной прямойрассматривается аналогично).

Тогда расстоянием, в заданном смысле, будетпроекция вектора OX на вектор n(A, B), равная:
 
(-C / A, 0) * (A,B) =      -C   
     |(A,B)|        sqrt(A2 + B2)
 
Искомое расстояниебудет находиться как расстояние от прямой p0 до точки А минус расстояние от прямой p допрямой p0.

В итогеполучаем: 
 
Ax + By + C
sqrt(A2 +B2)
 
Чтобы получитьрасстояние в классическом смысле осталось добавить модуль:
 
r(A,p) =  |Ax + By + C|
           sqrt(A2 + B2)
 
Прим.

По сути, мы использовали тот же факт, чтои при геометрическом подходе, а именно: кратчайшийотрезок между точкой А и точками прямой p будет принадлежать прямой,перпендикулярной исходной прямой p и проходящей через точку А.
 
Прим. В одной из последующих статей будет рассмотрен вопрос отношенияточка/прямая и точка/отрезок, где мы подробно проанализируем смысл знакавыражения под модулем. Но, пока без объяснения, можно привести следующий факт:

Пусть дана прямая p, заданная уравнением Ax + By + C = 0 и две точки A1(x1, y1), A2(x2, y2) не лежащие на этой прямой:

  • Ax1 + By1 + C и Ax2 + By2 + C одного знака, тогда и только тогда, когда точки A1 и A2 лежат по одну сторону прямой p;
  • Ax1 + By1 + C и Ax2 + By2 + C разного знака, тогда и только тогда, когда точки A1 и A2 лежат по разные стороны прямой p.

Угол между прямыми

Даны две прямые p и q, заданные уравнениями:
 
p: A1x +B1y + C1 = 0
q: A2x +B2y + C2 = 0
 
Чтобы найти уголмежду ними, достаточно вспомнить, что мы знаем нормали к этим прямым.

Косинусугла между нормалями равен:
 
cos(np, nq) =  np * nq  =           A1A2 + B1B2          
                 |np||nq|    sqrt(A12 + B12) * sqrt(A22 + B22)
 
Т.к.

угол междупрямыми, по определению, не может быть тупым, то косинус искомого угла междупрямыми p и q будет равен модулю косинуса между нормалями.
 

 
Прим. Легко видеть условие перпендикулярности двух прямых: A1A2 + B1B2 = 0.

Точка пересечения двух прямых

Есть две прямые p и q, заданные уравнениями:
 
p: A1x +B1y + C1 = 0
q: A2x +B2y + C2 = 0

Чтобы найти точкупересечения этих прямых достаточно решить систему уравнений, задающих прямые p и q. Решая, например методом Крамера, получаем три варианта: 

1)  A1Бесконечно много решений: прямые совпадают.  

2)  A1= B1 C1
A2   B2    C2
 
Решений нет: прямые параллельны.

3)  A1 B1
A2    B2

Есть ровно одно решение: прямые пересекаются:

x = B1C2 – B2C1;      y = C1A2– C2A1
                 A1B2– A2B1               A1B2– A2B1

Прим. В данной статье часто использовались пропорции:

A = B
C  D

Возникает вопрос, что будет, если С или D окажутся равными нулю? В этомслучае пропорция существует в “геометрическом” смысле и выполняется, если A * D = B * C. Например, вектора (1, 0) и (2, 0) будут коллинеарны:

1 = 0
2  0

т.к. 1 * 0 = 2 * 0 – верное числовоеравенство.

Источник: http://compgraphics.info/2D/straight_line_math.php

HelpIcs
Добавить комментарий