Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

Содержание
  1. Как найти периметр треугольника: теорема Пифагора и формула косинусов в зависимости от известных сторон
  2. Первый метод: известны все стороны фигуры
  3. Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
  4. Третий метод: по двум граням и углу между ними
  5. Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии
  6. Египетский треугольник
  7. Признаки равенства фигур
  8. Свойства треугольника с прямым углом
  9. Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику
  10. Как найти сторону треугольника, если две стороны известны | Сделай все сам
  11. Инструкция
  12. Совет 2: Как обнаружить сторону по стороне и двум углам
  13. Инструкция
  14. Совет 3: Как обнаружить сторону треугольника
  15. Инструкция
  16. Совет 4: Как обнаружить сторону квадратного треугольника
  17. Инструкция
  18. Как найти сторону треугольника зная 2 стороны формула | Помощь школьнику
  19. Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы
  20. Длина сторон прямоугольного треугольника
  21. Если известен периметр
  22. Если известен угол
  23. Если известна площадь
  24. Стороны треугольника
  25. Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы
  26. Длина сторон прямоугольного треугольника
  27. Если известен периметр
  28. Если известен угол
  29. Если известна площадь

Как найти периметр треугольника: теорема Пифагора и формула косинусов в зависимости от известных сторон

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

Периметр – это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

  • Первый метод: известны все стороны фигуры
  • Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны
  • Третий метод: по двум граням и углу между ними

Возможные методы:

  • известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
  • как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
  • известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

: что микроэкономика изучает, кратко об основателях и основах науки.

Первый метод: известны все стороны фигуры

Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани, необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c – известные длины всех сторон треугольника, P – периметр фигуры.

Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

Данная формула подходит к любому треугольнику, необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.

Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.

: что понимают под образовательными информационными ресурсами?

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a2 + b2 = c2, где а и b – катеты фигуры, а c – гипотенуза.

  • Гипотенуза. Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
  • Катеты – это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 32 + 42 = c2 => 9 + 16 = c2 => 25 = c2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см.

К слову, данный пример является самым распространенным и называется “Египетский треугольник”.

Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c2 – a2 = b2. И наоборот для другого катета.

Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c2 = a2 + b2 – (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c – стандартно длины граней, а A,B и С – это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A – угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае – это подставить все известные значения в теорему косинусов.

Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними.

Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень – это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.

Задача решена.

Источник: https://obrazovanie.guru/srednee-obrazovanie-i-shkola/kak-najti-perimetr-treugolnika-esli-izvestny-ne-vse-storony.html

Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

Катеты и гипотенуза – стороны прямоугольного треугольника. Первые – это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного треугольника (фигура известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c2 (квадрат гипотенузы) = a2+b2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется “египетским”. Интересно то, что радиус окружности, которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

  • Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, – бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
  • При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. Площадь фигуры можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30о, 45о и 60о.

  • При угле, который равен 30о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
  • Если угол 45о, значит, второй острый угол также 45о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
  • Свойство угла в 60о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

  1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
  2. по формуле Герона;
  3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами.

Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину.

Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

  1. Теорема Пифагора. Ее суть заключается в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В евклидовой геометрии данное соотношение является ключевым. Использовать формулу можно, если дан треугольник, к примеру, SNH. SN – гипотенуза, и ее необходимо найти. Тогда SN2=NH2+HS2.
  2. Теорема косинусов. Обобщает теорему Пифагора: g2=f2+s2-2fs*cos угла между ними. Например, дан треугольник DOB. Известны катет DB и гипотенуза DO, необходимо найти OB. Тогда формула принимает данный вид: OB2=DB2+DO2-2DB*DO*cos угла D. Существует три следствия: угол треугольника будет остроугольным, если из суммы квадратов двух сторон вычесть квадрат длины третьей, полученный результат должен быть меньше нуля. Угол – тупоугольный, в том случае, если данное выражение больше нуля. Угол – прямой при равенстве нулю.
  3. Теорема синусов. Она показывает зависимость сторон к противолежащим углам. Иными словами, это отношение длин сторон к синусам противолежащих углов. В треугольнике H, где гипотенузой является HF, будет справедливо: HF/sin угла B=/sin угла H=HB/sin угла F.

Источник: http://fb.ru/article/214757/kak-nayti-storonyi-pryamougolnogo-treugolnika-osnovyi-geometrii

Как найти сторону треугольника, если две стороны известны | Сделай все сам

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

admin · 19.03.2017

Решение задачи разработано старинным математиком Пифагором. Из каждого множества треугольников предпочтем прямоугольные. В них один из углов равен 90 градусов.

Стороны, которые прилегают к этому углу, именуются катетами. А третья сторона, соединяющая катеты, именуется гипотенузой. Пускай один из катетов равен 15 сантиметров, а 2-й — 9 сантиметров.

По теореме Пифагора обнаружим длину гипотенузы.

Инструкция

1. Обнаружьте квадрат 1-й стороны. Построим число 15 в квадрат, получим 225.

2.

Обнаружьте квадрат 2-й стороны. Построим число 9 в квадрат, получим 81.

3. Сложите итоги 1-го и 2-го шага. Прибавим 225 к 81, получим 306.

4. Вычислите квадратный корень из итога 3-го шага. Корень из числа 306 приблизительно равен 17,49 сантиметров. Это и есть длина гипотенузы.

Совет 2: Как обнаружить сторону по стороне и двум углам

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником.

Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .

Инструкция

1. Пускай построен треугольник ?ABC и знамениты – сторона BC и углы ?? и ??.Вестимо, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике ?ABC угол ?? будет равен ?? = 180? — (?? + ??).

Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника ?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin??,AB = 2 * R * sin??,AC = 2 * R * sin??.

Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.

2.

Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin??,где R вычисляется по формулеR = BC/sin??, R – радиус описанной около треугольника ?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin??,отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.

3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника ?? и ??, то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? — ??,?? = 180? — ??,?? = 180? — (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам .

Совет 3: Как обнаружить сторону треугольника

Сторона треугольника – это прямая, ограниченная его вершинами. Каждого их у фигуры три, это число определяет число фактически всех графических колляций: угла, медианы, биссектрисы и т.д.

Дабы обнаружить сторонутреугольника , следует наблюдательно исследовать исходные данные задачи и определить, какие из них могут стать основными либо промежуточными величинами для расчета.

Инструкция

1. Стороны треугольника , как и других многоугольников, имеют личные наименования: боковые стороны, основание, а также гипотенуза и катеты у фигуры с прямым углом.

Это облегчает расчеты и формулы, делая их больше явственными даже если треугольник произвольный.

Фигура графическая, следственно ее неизменно дозволено расположить так, дабы сделать решение задачи больше наглядным.

2.

Стороны всякого треугольника связаны между собой и другими его колляциями разными соотношениями, которые помогают вычислить требуемую величину в одно либо несколько действий. При этом чем труднее задача, тем длиннее последовательность шагов.

3. Решение упрощается, если треугольник типовой: слова «прямоугольный», «равнобедренный», «равносторонний» сразу выделяют определенную связь между его сторонами и углами.

4. Длины сторон в прямоугольном треугольнике связаны между собой теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. А углы, в свою очередь, связаны со сторонами теоремой синусов. Она заявляет равенство отношений между длинами сторон и тригонометрической функцией sin противолежащего угла. Однако, это правильно для всякого треугольника .

5. Две стороны равнобедренного треугольника равны между собой. Если их длина вестима, абсолютно довольно еще только одной величины, дабы обнаружить третью. Скажем, пускай знаменита высота, проведенная к ней.

Данный отрезок делит третью сторону на две равные части и выделяет два прямоугольных треугольника х. Разглядев один из них, по теореме Пифагора обнаружьте катет и умножьте на 2.

Это и будет длина незнакомой стороны.

6. Сторону треугольника дозволено обнаружить через другие стороны, углы, длины высоты, медианы, биссектрисы, величину периметра, площади, радиус вписанной окружности и т.д. Если невозможно сразу применить одну формулу, то произведите ряд промежуточных вычислений.

7. Разглядите пример: обнаружьте сторону произвольного треугольника , зная медиану ma=5, проведенную к ней, и длины 2-х других медиан mb=7 и mc=8.

8. РешениеЗадача полагает применение формул для медианы. Обнаружить надобно сторону а. Видимо, следует составить три уравнения с тремя незнакомыми.

9. Запишите формулы для всех медиан:ma = 1/2•?(2•(b? + c?) – a?) = 5;mb = 1/2•?(2•(a? + c?) – b?) = 7;mc = 1/2•?(2•(a? + b?) – c?) = 8.

10. Выразите c? из третьего уравнения и подставьте ее во второе:c? = 256 – 2•a? – 2•b? b? = 20 ? c? = 216 – a?.

11. Возведите обе стороны первого уравнения в квадрат и обнаружьте a, введя выраженные величины:25 = 1/4•(2•20 + 2•(216 – a?) – a?) ? a ? 11,1.

Совет 4: Как обнаружить сторону квадратного треугольника

Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.

Вам понадобится

  • — лист бумаги;
  • — ручка;
  • — таблицы Брадиса;
  • — калькулятор.

Инструкция

1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора.

Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты.

Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .

2.

Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с подмогой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.

3. Вычислите длину одного из катетов, если знамениты размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и знаменитого катета, также возведенного в квадрат.

4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса.

В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов.

Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу ?, b – катет, прилежащий к углу ?.

Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу ?, а – катет, прилежащий к углу ?.

6. В случае, когда знаменит катет a и прилежащий к нему острый угол ?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.

7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол ?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.

по теме

Обратите внимание!

Если неведомой величиной является один из катетов, то на 3-м шаге действуем напротив. Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат катета. Остальное не меняется. Скажем, была знаменита гипотенуза — 17,49 сантиметров. Также знаменит катет — 9 сантиметров. Обнаружим длину иного катета.Число 17,49 в квадрате равно 305,9.

Число 9 в квадрате равно 81. Вычитаем из числа 305,9 число 81, получаем 224,9. Вычисляем из этого числа корень, получаем 14,99 сантиметров — длина второго катета. Получилось чуть поменьше 15 сантиметров, так как 17,49 — мы первоначально получили приблизительное, округленное значение.

Полезный совет

Дабы уверенно решать задачки по теореме Пифагора, потренируйтесь несколько раз. Решите штук 50 задач с различными прямоугольными треугольниками. И вы не позабудете эту теорему никогда.

Источник: http://jprosto.ru/kak-nayti-storonu-treugolnika-esli-dve-storonyi-izvestnyi/

Как найти сторону треугольника зная 2 стороны формула | Помощь школьнику

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

Решите систему уравнений: hello_html_m6732e32c.gif. Имеет ли решения система и сколько? hello_html_7b119446.gif. Контрольная работа по теме « Системы линейных уравнений» Вариант 1. Решите систему уравнений методом подстановки: hello_html_mf8d4561.gif. Решите систему.

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

    Находим квадрат длины катета a; Находим квадрат катета b; Складываем их между собой; Из полученного результата извлекаем корень второй степени.

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т. д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

C=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения.

Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе.

Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Сайт не хранит личную информацию граждан Российской Федерации (регистрация закрыта, комментарии отключены).

Некоторые опубликованные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначеную для пользователей старше 16 лет (согласно №436-ФЗ от 29.12.

2010 года «О защите детей от информации причиняющей вред их здоровью и развитию»). 16+. Использование данного сайта подразумевает принятие условий пользовательского соглашения.

© Google Inc., 2016. Все права защищены. Наименование Google и логотип Google являются товарными знаками компании Google Inc.

GoogleTM, Android™, Google Maps™, Google Play™, Google Docs™, Google Picasa™, Gmail™, Google Chrome™, Google Plus™, ™ и соответствующие логотипы являются товарными знаками Google, Inc. в США и других странах.

Microsoft®, Windows®, Windows XP®, Windows Vista®, Xbox®, Zune®, SharePoint®, Internet Explorer®, Hotmail®, Bing®, Office®, Word®, PowerPoint®, Excel®, Outlook® и их логотипы являются товарными знаками Microsoft Corporation в США и других странах.

Mozilla®, Mozilla Firefox® и их логотипы являются товарными знаками Mozilla Foundation в США и других странах.

Skype® и соответствующий логотип являются товарными знаками Skype в США и других странах.

Стороны треугольника

Зная стороны треугольника, можно найти все остальные его параметры по выведенным для треугольника формулам, просто подставив их значения.

Периметр треугольник будет представлять собой сумму всех его сторон, а площадь выводится по формуле Герона, как квадратный корень из произведения полупериметра на его разность с каждой стороной по очереди, и деленному на два. P=a+b+c S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)/2)

Все углы в треугольнике, зная стороны, можно найти через теорему косинусов. (рис.75) cos⁡α=(b2+c2-a2)/2bc

В произвольном треугольнике также есть три медианы m (делящие противоположную сторону пополам), три биссектрисы l (делящие угол пополам) и три высоты h (перпендикуляры из угла к стороне или ее проекции). Все их можно вычислить, имея в распоряжении значения трех сторон. Формула медианы, которая опущена на сторону c.(рис.75.1) m_c=√(2a2+2b2-c2 )/2

Найти медиану, опущенную на сторону a или b, можно заменив необходимые стороны в формуле так, чтобы сторона, поделенная медианой пополам, была со знаком «–». m_a=√(2b2+2c2-a2 )/2 m_b=√(2a2+2c2-b2 )/2

Формула биссектрисы, которая выходит из угла γ и опущена на сторону с. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)

Чтобы найти биссектрисы, которые выходят из двух других углов, нужно преобразовать формулу аналогично формуле медианы, где противоположная сторона со знаком «–». l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)

Формула высоты, которая опущена на сторону a, b или c видоизменяется таким образом, чтобы в знаменателе была нужная сторона.(рис.75.3) h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c

Также в любом треугольнике можно провести среднюю линию, которая также как медиана обозначается буквой m, поэтому для их разделения, будем использовать заглавную M для средней линии.

Средняя линия параллельна той стороне, которая выбрана основанием треугольника, и равна ее половине.

Среди свойств средней линии можно отметить, что боковые стороны она делит на две равные части, поэтому если начертить все три средние линии в треугольнике, то получится еще один треугольник, подобный первому, в два раза меньше. (рис. 75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2

В каждый треугольник можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Центр вписанной в треугольник окружности будет находиться на пересечении его биссектрис, а радиус будет опущен под прямым углом к любой стороне и его формула выводится также по Герону. (рис.75.5) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Центр описанной вокруг произвольного треугольника окружности находится на пересечении его медиатрисс (срединных перпендикуляров, радиус опущен в любую вершину или угол, и вычисляется по следующей формуле. (рис.75.6) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

    Находим квадрат длины катета a; Находим квадрат катета b; Складываем их между собой; Из полученного результата извлекаем корень второй степени.

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т. д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

C=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения.

Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе.

Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Сайт не хранит личную информацию граждан Российской Федерации (регистрация закрыта, комментарии отключены).

Некоторые опубликованные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначеную для пользователей старше 16 лет (согласно №436-ФЗ от 29.12.

2010 года «О защите детей от информации причиняющей вред их здоровью и развитию»). 16+. Использование данного сайта подразумевает принятие условий пользовательского соглашения.

© Google Inc., 2016. Все права защищены. Наименование Google и логотип Google являются товарными знаками компании Google Inc.

GoogleTM, Android™, Google Maps™, Google Play™, Google Docs™, Google Picasa™, Gmail™, Google Chrome™, Google Plus™, ™ и соответствующие логотипы являются товарными знаками Google, Inc. в США и других странах.

Microsoft®, Windows®, Windows XP®, Windows Vista®, Xbox®, Zune®, SharePoint®, Internet Explorer®, Hotmail®, Bing®, Office®, Word®, PowerPoint®, Excel®, Outlook® и их логотипы являются товарными знаками Microsoft Corporation в США и других странах.

Mozilla®, Mozilla Firefox® и их логотипы являются товарными знаками Mozilla Foundation в США и других странах.

Skype® и соответствующий логотип являются товарными знаками Skype в США и других странах.

Источник: http://poiskvstavropole.ru/2018/01/22/kak-najti-storonu-treugolnika-znaya-2-storony-formula/

HelpIcs
Добавить комментарий