Находим площадь треугольника, если известны все стороны – формулы для вычислений

Содержание
  1. Как найти площадь треугольника
  2. Прямоугольный треугольник и его площадь
  3. Равнобедренный треугольник и его площадь
  4. Площадь треугольника
  5. Площадь треугольника по основанию и высоте
  6. Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними
  7. Площадь равностороннего треугольника по стороне
  8. Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
  9. Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника
  10. Как найти площадь треугольника через высоту и основание
  11. Формула Герона
  12. Площадь равностороннего треугольника
  13. Как найти площадь любого треугольника по трём сторонам
  14. Что такое треугольник и какие бывают треугольники?
  15. Вычисление площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона
  16. Как получить формулу Герона?
  17. Вариации формулы Герона
  18. Примеры
  19. Площадь треугольника
  20. Вывод формул для площади произвольного треугольника
  21. Вывод формул для площади равностороннего треугольника
  22. Вывод формул для площади прямоугольного треугольника
  23. Площадь треугольника когда известны все стороны | Помощь школьнику
  24. Находим площадь треугольника, если известны все стороны — формулы для вычислений
  25. Формула Герона
  26. Другие формулы
  27. Площадь треугольника по сторонам
  28. Площадь треугольника по сторонам

Как найти площадь треугольника

Находим площадь треугольника, если известны все стороны - формулы для вычислений

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным.

Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах.

Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям в домашнем задании. Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к.

сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника.

Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е.

правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами.

Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны:

Как вы можете заметить, в этих формулах активно используются углы, их величины, косинусы, синусы и тангенсы.

По этой причине, без специальной книжки вам не обойтись, хотя всю информацию вы сможете найти в Интернете.

Отметим только, что в формулах угол альфа – тот, что находится между боковой стороной и основанием, а угол гамма (y) – тот, что находится между равными боковыми сторонами треугольника.

Источник: http://KakZnatok.ru/raznoe/kak-najti-ploshhad-treugolnika/

Площадь треугольника

Находим площадь треугольника, если известны все стороны - формулы для вычислений

Площадь треугольников, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Для всех треугольников

1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, опущенную на это основание: . Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Вычислить площадь:

Сторона a

Высота h

2

Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между этими сторонами: . Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

3

Площадь треугольника равна половине суммы всех трех сторон треугольника умноженной на радиус вписанной окружности.

или по-другому можно сказать: “Площадь треугольника равна половине периметра треугольника, умноженного на радиус вписанной окружности.”

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

4

Площадь треугольника равна произведению трех сторон треугольника, деленных на четыре радиуса описанной окружности:

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности

5

Если известны все три стороны треугольника, можно вычислить его площадь используя формулу Герона: , где p – это полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр:

Для равнобедренных треугольников

6

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Вычислить площадь:

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами

7

Вычислить площадь:

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной

8

Вычислить площадь:

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

9

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Вычислить площадь:

Сторона a (a = b = c)

10

Вычислить площадь:

Высота h

11

Вычислить площадь:

Радиус r вписанной окружности

12

Вычислить площадь:

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

13

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Вычислить площадь:

Катет a

Катет b

14

Вычислить площадь:

Отрезокd

Отрезок e

15

Формула Герона для прямоугольного треугольника , где p – это полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр:

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить:

Для всех треугольников

Для равнобедренных треугольников

Для равносторонних треугольников

Для прямоугольных треугольников

Источник: https://doza.pro/art/math/geometry/area-triangle

Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника

Находим площадь треугольника, если известны все стороны - формулы для вычислений

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

https://www.youtube.com/watch?v=ayOt9DwAsSQ

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

$5\cdot 6=30$

Тогда площадь треугольника равняется

$30:2=15$

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ – длина стороны, $h$ – высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

$h2=γ2-x2$

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h2=α2-(β-x)2$

$h2=α2-β2+2βx-x2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ2-x2=α2-β2+2βx-x2$

То есть

$x=\frac{γ2-α2+β2}{2β}$

Получим

$h2=γ2-(\frac{γ2-α2+β2}{2β})2$

$h2=\frac{(α2-(γ-β)2 )((γ+β)2-α2)}{4β2}$

$h2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β2}$

$h2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Теорема доказана.

Площадь равностороннего треугольника

Теорема 3

Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{α2\sqrt{3}}{4}$

где $α$ – сторона треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).

Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора

$h2=α2-\frac{α2}{4}$

$h2=\frac{3}{4} α2$

$h=\frac{α\sqrt{3}}{2}$

Значит по теореме 1:

$S=\frac{α2\sqrt{3}}{4}$

Теорема доказана.

Пример 3

Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.

Решение.

Используя теорему 3, получим

$S=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/kak_nayti_ploschad_treugolnika_formuly_treugolnika/

Как найти площадь любого треугольника по трём сторонам

Находим площадь треугольника, если известны все стороны - формулы для вычислений

Часто бывает необходимо вычислить площадь той или иной геометрической фигуры.

Если дело обстоит с прямоугольником или квадратом, то тут все более-менее ясно: формулы для их площадей интуитивно просты и понятны, а также легко запоминаются.

Но как быть, если речь идет о каком-нибудь треугольнике, для вычисления площади которого простого перемножения сторон недостаточно. Тогда на помощь приходит она, госпожа Математика…

Что такое треугольник и какие бывают треугольники?

Вспомним определение из школьного курса геометрии: «Треугольником АВС называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и соединенных между собой отрезками». Точки А, В и С будут вершинами, а отрезки АВ, ВС и АС — сторонами треугольника. Треугольник АВС кратко записывают так: ∆ABC.

Треугольники бывают правильные, когда все их стороны равны. По-другому их еще называют равносторонними. Также есть равнобедренные, когда только две стороны одинаковы, и прямоугольные, когда один из углов — прямой.

Вычисление площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Можно долго описывать свойства биссектрисы или медианы треугольника, однако, у нас другая задача: можно ли, зная длины всех сторон ∆АВС, найти его площадь? Такая необходимость возникает, если мы измерили три стороны треугольника, а углы нам неизвестны. Конечно, можно. Уже в I веке нашей эры была известна замечательная формула, позволяющая без проблем находить площади любых треугольников только по трем сторонам.

Эта формула, ныне известная как формула Герона (по имени древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в I веке н. э., в чьей книге под названием «Метрика» эту формулу и обнаружили), была открыта знаменитым Архимедом. Она очень проста и сводится к следующему:

Площадь любого треугольника ABC со сторонами a, b и с определяется формулой Герона:

S=√p (p-a)(p-b)(p-c), где p=(a+b+c)/2 — полупериметр ∆ABC.

Как получить формулу Герона?

Как же была получена столь замечательная формула? Все очень просто. Если вы запасетесь небольшим терпением, то сами сможете убедиться, как же легко можно прийти к формуле Герона. Для этого поднимите из памяти на свет вашего разума известные со школьной скамьи теоремы синусов и косинусов. Как они звучат?

Теорема синусов: «Отношения сторон ∆ABC к синусам противолежащих им углов равны:

a/sin α=b/sin β=c/sin γ, где α, β и γ — углы ∆АВС, противолежащие сторонам а, b и с соответственно».

Теорема косинусов: «Квадрат стороны ∆ABC равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a²=b²+c²-2bc•cos α».

Используя их, вы сами придете к желаемому результату, как это сделал много веков назад знаменитый математик. Вот вам небольшая подсказка: используйте формулу площади ∆ABC подвум сторонам и углу между ними. Удачи!

Вариации формулы Герона

Существуют и другие формы записи этой формулы. Вот они:

  • S=¼•√((a²+b²+c²)²-2 (a⁴+b⁴+c⁴));
  • S=¼•√(2 (a²b²+a²c²+b²c²)-(a⁴+b⁴+c⁴));
  • S=¼•√((a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c));
  • S=¼•√(4a²b²-(a²+b²-c²)²).

Еще формулы для вычисления площади треугольника:

  • S=½•ab•sin γ, где γ — угол между ст-нами a и b;
  • S=½•a²/(ctg β+ctg γ), где β и γ — углы, прилежащие к ст-не а;
  • S=½•ah, где h — высота, опущенная на ст-ну а;
  • S=½•ab, если ∆ABC — прямоугольный;
  • S=¼•a²√3, если ∆ABC — равносторонний со ст-ной а;
  • S=½•а²•sin φ, если ∆ABC — равнобедренный с боковыми ст-нами, а и углом φ между ними.

Примеры

Эти примеры помогут вам лучше освоить тему:

Пример №1

Вычислить площадь ∆АВС, если a=10, в=20, c=30. Решение. Находим полупериметр: p=(10+20+30)/2=30. Теперь по формуле Герона: S=√(30•(30−10)•(30−20)•(30−30))=0, т. е. на самом деле мы имеем дело не с треугольником, а с отрезком, у которого с=а+b=10+20=30.

Пусть а=3, в=5, c=6, тогда p=(3+5+6)/2=7. Искомая площадь S=√(7•(7−3)•(7−5)•(7−6))=√(7•4•2•1)=√56≈7,48.

Пример №2

Найти угол γ между сторонами треугольника a и в из предыдущей задачи. Решение. S=(aв/2)•sin γ, sin γ=2S/(aв)=2•√56/(3•5)=0,99778, γ=arcsin 0,99778≈86°.

Пример №3

Пусть даны координаты вершин ∆ABC: А (1,2), В (-1,3), С (2,-5). Найти его площадь по одной из формул. Решение. Находим длины его сторон: AB=√((-1−1)²+(3−2)²)=√5, BC=√((2-(-1))²+(-5−3)²)=√73, AC=√((2−1)²+(-5−2)²)=√50. Тогда S=¼•√(4•5•73-(5+73−50)²)=¼•√676=26/4=6,5.

Пример №4

Периметр равностороннего треугольника численно равен его площади. Чему равна его сторона а? Решение. Так как периметр равностороннего треугольника равен Р=3а, а его площадь S=¼•a²√3, то приравняв эти равенства, получим: 3а=¼•а²√3. Решив это уравнение, найдем: а=4√3.

Пример №5

Площадь круга радиусом R равна площади равностороннего ∆ABC. Найти радиус круга. Решение. Площадь круга S=πR² по условию задачи равна площади равностороннего ∆ABC: πR²=¼•а²√3. Из этого соотношения находим: R=а√(√3)/(2√π)≈0,3713а.

Пример №6

Сторона и два прилежащих к ней угла в ∆ABC равны соответственно а=7, β=30°, γ=60°. Чему равна его площадь? Решение. S=½•7²/(ctg 30°+ctg 60°)=(49/2)/(√3+1/√3)=49√3/8≈10,61.

Это видео поможет вам закрепить материал, изложенный в статье.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-najti-ploshhad-lyubogo-treugolnika-po-tryom-storonam

Площадь треугольника

Находим площадь треугольника, если известны все стороны - формулы для вычислений

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Площади

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура Рисунок Формула площади Обозначения
Произвольный треугольник Посмотреть вывод формулы a – любая сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
Посмотреть вывод формулы a и b – две любые стороны,С – угол между ними
.Посмотреть вывод формулы Герона a, b, c – стороны,p – полупериметрФормулу называют «Формула Герона»
Посмотреть вывод формулы a – любая сторона,B, С – прилежащие к ней углы
Посмотреть вывод формулы a, b, c – стороны,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр
Посмотреть вывод формулы a, b, c  – стороны,R – радиус описанной окружности
S = 2R2 sin A sin B sin CПосмотреть вывод формулы A, B, С – углы,R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник Посмотреть вывод формулы a – сторона
Посмотреть вывод формулы h – высота
Посмотреть вывод формулы r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулы R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник Посмотреть вывод формулы a и b – катеты
Посмотреть вывод формулы a – катет,φ – прилежащий острый угол
Посмотреть вывод формулы a – катет,φ – противолежащий острый угол
Посмотреть вывод формулы c – гипотенуза,φ – любой из острых углов
Произвольный треугольник
гдеa – любая сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – две любые стороны,С – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
.гдеa, b, c – стороны,p – полупериметрФормулу называют «Формула Герона»Посмотреть вывод формулы Герона
гдеa – любая сторона,B, С – прилежащие к ней углыПосмотреть вывод формулы
гдеa, b, c – стороны,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметрПосмотреть вывод формулы
гдеa, b, c  – стороны,R – радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin A sin B sin CгдеA, B, С – углы,R – радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
гдеa – сторонаПосмотреть вывод формулы
гдеh – высотаПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеR – радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
гдеa и b – катетыПосмотреть вывод формулы
гдеa – катет,φ – прилежащий острый уголПосмотреть вывод формулы
гдеa – катет,φ – противолежащий острый уголПосмотреть вывод формулы
гдеc – гипотенуза,φ – любой из острых угловПосмотреть вывод формулы
Произвольный треугольник
гдеa – любая сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – две любые стороны,С – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
.гдеa, b, c – стороны,p – полупериметрФормулу называют «Формула Герона»Посмотреть вывод формулы Герона
гдеa – любая сторона,B, С – прилежащие к ней углыПосмотреть вывод формулы
гдеa, b, c – стороны,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметрПосмотреть вывод формулы
гдеa, b, c  – стороны,R – радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin A sin B sin CгдеA, B, С – углы,R – радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
гдеa – сторонаПосмотреть вывод формулы
гдеh – высотаПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеR – радиус описанной окружностиПосмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
гдеa и b – катетыПосмотреть вывод формулы
гдеa – катет,φ – прилежащий острый уголПосмотреть вывод формулы
гдеa – катет,φ – противолежащий острый уголПосмотреть вывод формулы
гдеc – гипотенуза,φ – любой из острых угловПосмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
= hactg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b = 2R sin B ,    
c = 2R  sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

      Доказательство.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.

  2. Рис. 11

    В силу утверждения 2

  3. Рассмотрим рисунок 12.

  4. Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

  5. Рассмотрим рисунок 13.

  6. Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

  7. Рассмотрим рисунок 14.

  8. Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

          Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqt.htm

Площадь треугольника когда известны все стороны | Помощь школьнику

Находим площадь треугольника, если известны все стороны - формулы для вычислений

(Да, в треугольнике против равных углов всегда лежат равные стороны.) Обратное утверждение называют признаком равнобедренного треугольника. Свойство — параметр, который используется для решения. Признак — параметр, по которому можно определить объект. Признаки – это то, в чем предметы.

Находим площадь треугольника, если известны все стороны — формулы для вычислений

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные формы, а также их измерение и расположение относительно друг друга. Геометрия как наука получила своё название и систематизацию знаний в Греции (около двух с половиной тысяч лет назад).

Вычисление площадей фигур — одна из самых распространённых задач, которые решает геометрия (чаще всего вопрос определения площади становится актуальным в процессе строительства). В качестве примера попробуем найти площадь треугольника, если известны все стороны.

Для определения площади треугольника могут использоваться различные формулы, исходя из имеющихся данных. В случае, когда известны длины всех сторон треугольника, его площадь может быть вычислена по формуле Герона.

Быстрая навигация по статье

Формула Герона

Для вычисления площади треугольника по длинам его сторон используется одна из самых древнейших в геометрии формул — формула Герона, названная в честь выдающегося древнегреческого математика Герона Александрийского (I век н. э.).

Площадь треугольника по этой формуле вычисляется как корень квадратный из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра с каждой из сторон треугольника:

    S — площадь треугольника; a, b, и c — длины сторон треугольника, р = (a + b + c) / 2 — полупериметр треугольника.

Дан треугольник со сторонами а = 6см, b = 8см, с = 10см.

Первоначально необходимо вычислить полупериметр треугольника:

Р = (6 + 8 +10) / 2 = 12см

Далее, используя площадь Герона, можно найти площадь треугольника:

Другие формулы

В зависимости от имеющихся данных, для вычисления площади треугольника могут использоваться другие формулы. Площадь треугольника равна:

    Половине произведения двух сторон на синус угла между ними; Половине произведения длины стороны треугольника, принятой за основание и длины высоты треугольника; Половине произведения длин катетов (для прямоугольного треугольника).

Сайт не хранит личную информацию граждан Российской Федерации (регистрация закрыта, комментарии отключены).

Некоторые опубликованные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначеную для пользователей старше 16 лет (согласно №436-ФЗ от 29.12.

2010 года «О защите детей от информации причиняющей вред их здоровью и развитию»). 16+. Использование данного сайта подразумевает принятие условий пользовательского соглашения.

© Google Inc., 2016. Все права защищены. Наименование Google и логотип Google являются товарными знаками компании Google Inc.

GoogleTM, Android™, Google Maps™, Google Play™, Google Docs™, Google Picasa™, Gmail™, Google Chrome™, Google Plus™, ™ и соответствующие логотипы являются товарными знаками Google, Inc. в США и других странах.

Microsoft®, Windows®, Windows XP®, Windows Vista®, Xbox®, Zune®, SharePoint®, Internet Explorer®, Hotmail®, Bing®, Office®, Word®, PowerPoint®, Excel®, Outlook® и их логотипы являются товарными знаками Microsoft Corporation в США и других странах.

Mozilla®, Mozilla Firefox® и их логотипы являются товарными знаками Mozilla Foundation в США и других странах.

Skype® и соответствующий логотип являются товарными знаками Skype в США и других странах.

Площадь треугольника по сторонам

Найти площадь треугольника по трем сторонам можно с помощью формулы Герона.

Где p — полупериметр:

A, b, c — длины сторон треугольника.

Проведем в треугольнике ABC высоту BD при условии, что углы A и C — острые

(если треугольник ABC тупоугольный либо прямоугольный, то в качестве угла B выбираем тупой либо прямой угол).

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ABD

Из прямоугольного треугольника BCD —

Приравниваем правые части равенств:

BC² перенесем в правую часть, AD² — в левую:

Правую часть разложим по формуле разности квадратов:

Так как AD+CD=AC, то

Сложим эти два равенства почленно и приведем правую часть к общему знаменателю:

Площадь треугольника по сторонам

Найти площадь треугольника по трем сторонам можно с помощью формулы Герона.

Где p — полупериметр:

A, b, c — длины сторон треугольника.

Проведем в треугольнике ABC высоту BD при условии, что углы A и C — острые

(если треугольник ABC тупоугольный либо прямоугольный, то в качестве угла B выбираем тупой либо прямой угол).

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ABD

Из прямоугольного треугольника BCD —

Приравниваем правые части равенств:

BC² перенесем в правую часть, AD² — в левую:

Правую часть разложим по формуле разности квадратов:

Так как AD+CD=AC, то

Сложим эти два равенства почленно и приведем правую часть к общему знаменателю:

Источник: http://poiskvstavropole.ru/2018/02/01/ploshhad-treugolnika-kogda-izvestny-vse-storony/

HelpIcs
Добавить комментарий