Способы найти угол в прямоугольном треугольнике — формулы вычисления

Содержание

Как найти угол в прямоугольном треугольнике | Сделай все сам

Способы найти угол в прямоугольном треугольнике - формулы вычисления

admin · 28.05.2017

Теснее из самого наименования «прямоугольного» треугольника становится ясно, что один угол в нем составляет 90 градусов. Остальные углы дозволено обнаружить, припомнив нехитрые теоремы и свойства треугольников.

Вам понадобится

  • Таблица синусов и косинусов, таблица Брадиса

Инструкция

1. Обозначим углы треугольника буквами A, B и C, как это показано на рисунке. Угол BAC равен 90º, два других угла обозначим буквами α и β. Катеты треугольника обозначим буквами a и b, а гипотенузу буквой c.

2. Тогда sinα = b/c, а cosα = a/c.Подобно для второго острого угла треугольника: sinβ = a/c, а cosβ = b/c.В зависимости от того, какие стороны нам вестимы, вычисляем синусы либо косинусы углов и глядим по таблице Брадиса значение α и β.

3. Обнаружив один из углов, дозволено припомнить, что сумма внутренних углов треугольника равна 180º. Значит, сумма α и β равна 180º — 90º = 90º.Тогда, вычислив значение для α по таблицам, можем для нахождения β воспользоваться дальнейшей формулой: β = 90º — α

4. Если незнакома одна из сторон треугольника, то применяем теорему Пифагора: a²+b²=c². Выведем из нее выражение для незнакомой стороны через две другие и подставим в формулу для нахождения синуса либо косинуса одного из углов.

Совет 2: Как обнаружить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую наоборот прямого угла. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Остальные стороны в прямоугольном треугольнике именуются катетами.

Вам понадобится

  • Базовые познания геометрии.

Инструкция

1. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, дабы обнаружить квадрат длины гипотенузы, нужно построить в квадрат длины катетов и сложить.

2. Длина гипотенузы равна корню квадратному из квадрата ее длины. Дабы обнаружить ее длину, извлечем квадратный корень из числа, равного сумме квадратов катетов. Полученное число и будет длиной гипотенузы.

по теме

Обратите внимание!

Длина гипотенузы величина правильная, следственно при извлечении корня, подкоренное выражение должно быть огромнее нуля.

Полезный совет

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длину гипотенузы дозволено вычислить умножив катет на корень из 2-х.

Совет 3: Как обнаружить острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, возможно, — одна из самых вестимых, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым «штанам» конкуренцию может составить лишь «Эврика!» Архимеда.

Вам понадобится

  • — чертеж треугольника;
  • — линейка;
  • — транспортир.

Инструкция

1. Как водится, вершины углов треугольника обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а противоположные им стороны маленькими латинскими буквами (a, b, c) либо по наименованиям вершин треугольника, образующих эту сторону (AC, BC, AB).

2. Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) неизменно будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. поменьше 90 градусов весь.

Дабы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с подмогой линейки стороны треугольника и определите крупнейшую. Она именуется гипотенуза (AB) и располагается наоборот прямого угла (C).

Остальные две стороны образуют прямой угол и именуются катетами (AC, BC).

3. Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо измерить величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с поддержкой математических формул.

4. Дабы определить величину угла с поддержкой транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с особой отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем.

Подметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую проходит гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах.

Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла необходимо выбирать меньшую, для тупого — крупную.

5. Величину угла дозволено рассчитать, сделав несложные математические вычисления. Вам потребуется умение основ тригонометрии. Если знамениты длина гипотенузы AB и катета ВС, вычислите значение синуса угла А: sin (A) = BC / AB.

6. Полученное значение обнаружьте в справочных таблицах Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим способом пользовались наши бабушки.

7. В наше время довольно взять калькулятор с функцией вычисления тригонометрических формул. Скажем, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение «Калькулятор», в пункте меню «Вид» предпочтете пункт «Инженерный». Вычислите синус желанного угла, скажем, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, после этого кликните по кнопке расчета функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится дальнейшая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение желанного угла — 30 градусов.

Совет 4: Как обнаружить неведомую сторону в треугольнике

Метод вычисления неведомой стороны треугольника зависит не только от условий задания, но и от того, для чего это делается.

С сходственной задачей сталкиваются не только школьники на уроках геометрии, но и инженеры, работающие в различных отраслях производства, дизайнеры интерьера, закройщики и представители многих других профессий.

Точность вычислений для различных целей может быть различной, но правило их остается тем же самым, что и в школьном задачнике.

Вам понадобится

  • — треугольник с заданными параметрами;
  • — калькулятор;
  • — ручка;
  • — карандаш;
  • — транспортир;
  • — лист бумаги;
  • — компьютер с программой AutoCAD;
  • — теоремы синусов и косинусов.

Инструкция

1. Начертите треугольник, соответствующий условиям задания.

Треугольник дозволено возвести по трем сторонам, двум сторонам и углу между ними либо стороне и двум прилегающим к ней углам.

Тезис работы в тетради и на компьютере в программе AutoCAD в этом плане идентичны. Так что в задании неукоснительно обязаны быть указаны размеры одной либо 2-х сторон и одного либо 2-х углов.

2. При построении по двум сторонам и углу начертите на листе отрезок, равный вестимой стороне.

С поддержкой транспортира отложите данный угол и проведите вторую сторону , отложив данный в условии размер.

Если вам дана одна сторона и два прилежащих к ней угла, начертите вначале сторону , потом от 2-х концов полученного отрезка отложите углы и проведите две другие стороны. Обозначьте треугольник как ABC.

3. В программе AutoCAD комфортнее каждого строить неверный треугольник с подмогой инструмента «Отрезок». Вы обнаружите его через основную вкладку, предпочтя окно «Рисование». Задайте координаты знаменитой вам стороны, после этого — финальной точки второго заданного отрезка.

4. Определите вид треугольника. Если он прямоугольный, то незнакомая сторона вычисляется по теореме Пифагора. Гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть c=?a2+b2. Соответственно, всякий их катетов будет равно квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и знаменитого катета: a=?c2-b2.

5. Для вычисления неведомой стороны треугольника, у которого даны сторона и два прилежащих угла, воспользуйтесь теоремой синусов. Сторона а так относится к sin?, как сторона b к sin?. ? и ? в данном случае — противолежащие углы.

Угол, тот, что не задан условиями задачи, дозволено обнаружить, припомнив, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Вычтите из нее сумму вестимых вам 2-х углов.

Обнаружьте неизвестную вам сторону b, решив пропорцию обыкновенным методом, то есть умножив знаменитую сторону а на sin? и поделив это произведение на sin?. Вы получаете формулу b=a*sin?/sin?.

6. Если вам знамениты стороны a и b и угол ? между ними, используйте теорему косинусов. Незнакомая сторона с будет равна квадратному корню из суммы квадратов 2-х других сторон, минус удвоенное произведение этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними. То есть c=?a2+b2-2ab*cos?.

по теме

Совет 5: Как вычислить угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник составляют два острых угла, величина которых зависит от длин сторон, а также один угол неизменно постоянной величины 90°. Вычислить размер острого угла в градусах дозволено с применением тригонометрических функций либо теоремы о сумме углов в вершинах треугольника в евклидовом пространстве.

Инструкция

1. Используйте тригонометрические функции, если в условиях задачи даны лишь размеры сторон треугольника. Скажем, по длинам 2-х катетов (коротких сторон, прилегающих к прямому углу) дозволено вычислить всякий из 2-х острых углов.

Тангенс того угла (?), тот, что прилегает к катету А, дозволено обнаружить делением длины противолежащей ему стороны (катета В) на длину стороны А: tg(?) = В/А. А зная тангенс, дозволено вычислить и соответствующую ему величину угла в градусах.

Для этого предуготовлена функция арктангенс: ? = arctg(tg(?)) = arctg(В/А).

2. По этой же формуле дозволено обнаружить величину и иного острого угла, лежащего наоборот катета А. Примитивно поменяйте обозначения сторон.

Но дозволено сделать это и напротив, с подмогой иной пары тригонометрических функций — котангенса и арккотангенса. Котангенс угла b определяется делением длины прилежащего катета А на длину противолежащего В: tg(?) = А/В.

А арккотангенс поможет извлечь из полученного значения величины угла в градусах: ? = arсctg(сtg(?)) = arсctg(А/В).

3. Если в начальных условиях дана длина одного из катетов (А) и гипотенузы (С), то для вычисления углов используйте функции, обратные синусу и косинусу — арксинус и арккосинус.

Синус острого угла ? равен отношению длины лежащего наоборот него катета В к длине гипотенузы С: sin(?) = В/С.

Значит, для вычисления величины этого угла в градусах применяйте такую формулу: ? = arcsin(В/С).

4. А значение косинуса угла ? определяется отношением длины примыкающего к этой вершине треугольника катета А к длине гипотенузы С. Это значит, что для вычисления величины угла в градусах, по аналогии с предыдущей формулой, нужно применять такое равенство: ? = arccos(А/С).

5. Теорема о сумме углов треугольника делает непотребным применение тригонометрических функций, если в условиях задачи дана величина одного из острых углов. В этом случае для вычисления неведомого угла (?) легко отнимите от 180° величины 2-х вестимых углов — прямого (90°) и острого (?): ? = 180° — 90° — ? = 90° — ?.

Обратите внимание!

Высота h делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника, сходственных ему. Тут срабатывает знак подобия треугольников по трем углам.

Источник: http://jprosto.ru/kak-nayti-ugol-v-pryamougolnom-treugolnike/

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

Способы найти угол в прямоугольном треугольнике - формулы вычисления
Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры.

Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
(по соотношению сторон)
Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ(а+с+b) — периметр треугольника.Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
    •  a < b + c,
    •  a > b – c;
    •  b < a + c,
    •  b > a – c;
    •  c < a + b,
    •  c > a – b.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам). 2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними). 3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны: 1. Гипотенуза и острый угол. 2. Катет и противолежащий угол. 3. Катет и прилежащий угол. 4. Два катета.5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

1.Произвольный треугольник — формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) — по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. — по длинам сторон — формула площади Герона
  4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.1. S=(1/2)*a*b2. S=(1/2)*c*hc
S=(a2*√3)/4
— Синус α — это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)- Косинус α — это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)- Тангенс α — это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)- Котангенс α — это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Источник: http://TehTab.ru/Guide/GuideMathematics/PerimSqVolGradRad/SquaresOfPlainFigures/TrianglesProporties/

Задачи №6. Прямоугольный треугольник. Вычисление углов

Способы найти угол в прямоугольном треугольнике - формулы вычисления

Елена Репина 2013-07-19 2016-06-21

Вам может быть полезно заглянуть сюда, чтобы вспомнить свойства прямоугольного треугольника.

Итак, сегодня вычисляем

Часть 1.

Задача 1

Один острый угол прямоугольного треугольника на   больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

 Решение: + показать

Пусть один из острых углов треугольника равен   градусов,  тогда  согласно условию задачи второй острый угол  равен градусов.

Поскольку на острые углы прямоугольного треугольника приходится , то 

Тогда больший угол равен

Ответ: 75. 

Задача 2

Один острый угол прямоугольного треугольника в 29 раз больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Пусть один из острых углов треугольника  равен градусов,  тогда  согласно условию задачи второй острый угол градусов.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то

Тогда больший острый угол равен

Ответ: 87. 

Задача 3

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, угол A равен  . Найдите угол BCH. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Из прямоугольного треугольнике

Тогда, так как угол – прямой, то

Ответ: 89. 

Задача 4

Острый угол прямоугольного треугольника равен . Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Способ 1.

Из треугольника  :

Тогда острый угол между биссектрисами будет

Способ 2.

Если вы помните теорему о внешнем угле треугольника, то получите ответ чуть быстрее.

Ответ: 58. 

Задача 5

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

по свойству внешнего угла треугольника.

Как известно,

Значит, так как и – биссектрисы углов и , то

Ответ: 45. 

Задача 6.

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Так как   – биссектриса угла , то

А так как по условию то  

Значит,  в прямоугольном треугольнике

Угол и есть меньший угол данного прямоугольного треугольника.

Ответ: 24. 

Задача 7.

Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Обратите внимание на эту задачу. Она может оказаться  сложной, если не знать одного очень важного свойства медианы, проведенной к гипотенузе.

А именно:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Значит, треугольники и – равнобедренные.

Ответ: 62. 

Часть 2.

Нахождение  значений синусов, косинусов, тангенсов углов  в прямоугольном треугольнике

Вы должны знать как находить  синус, косинус, тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

А также знать некоторые связи между острыми углами прямоугольного треугольника (не только то, что их сумма равна 90 градусов, но и как они связаны при помощи тригонометрических функций), а также что еще связывает смежные углы помимо того, что их сумма 180 градусов.  Заглянув сюда, вы  найдете компактные таблицы-шпаргалки с необходимым справочным материалом для решения задач, что мы здесь рассматриваем. 

Задача 1.

В треугольнике   угол   равен 90°,   Найдите

Решение: + показать

Углы и в сумме дают , поэтому

(применили формулы приведения).

Ответ: 0,1. 

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90°,  Найдите

Решение: + показать

По сути, и чертеж нам не нужен. Мы будем работать с основными тригонометрическими формулами.

Поскольку угол – острый угол прямоугольного треугольника, то

Ответ: 0,2. 

Задача 3.

В треугольнике ABC угол C равен 90°,   Найдите

Решение: + показать

Сначала найдем из основного тригонометрического тождества:

Поскольку имеем дело с острым углом , то  положителен.

Тогда

Ответ: 1,75. 

Задача 4.

В треугольнике  угол  равен 90°,  Найдите

Решение: + показать

, так как

https://www.youtube.com/watch?v=-oGIMeQg6Xg

Из основного тригонометрического тождества, о котором уже говорилось, имеем:

Ответ: 0,96. 

Задача 5.

В треугольнике  угол  равен 90°,  Найдите  

Решение: + показать

В задаче можно обращаться к тригонометрическим тождествам, но мы поступим так:

Пусть , тогда .

По теореме Пифагора () имеем:

Тогда

Ответ: 0,28. 

Задача 6.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота,  Найдите

Решение: + показать

Мы уже знаем, что для острых углов прямоугольного треугольника выполняется:

.

В треугольнике

Значит и

Ответ: 0,8. 

Задача 7.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, синус внешнего угла при вершине A равен   Найдите .

Решение: + показать

Для смежных углов (внутренний угол  и ) справедливо:

Согласно основному тригонометрическому тождеству имеем:

Угол – острый, значит – положителен.

Ответ: 0,4. 

Задача 8.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус внешнего угла при вершине A равен   Найдите .

Решение: + показать

Уже говорили о том, что , поэтому

Берем положительное значение , так как угол – острый:

Ответ: 0,5. 

Дожили до конца статьи? 🙂

Отдых не помешает!

ПРОДОЛЖЕНИЕ. Смотрите также статью  «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин».

egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/pryamougolnyj-treugolnik-vychislenie-uglov/

Прямоугольный треугольник

Способы найти угол в прямоугольном треугольнике - формулы вычисления

В данной статье для вас основная теория по прямоугольному треугольнику, также мы с вами разберём несколько задач. На первый взгляд, число прототипов заданий, представленных в едином банке задач ЕГЭ, несколько пугает – их там более 300 (на момент написания этой статьи). Но практически все задания решаются в два, максимум в три действия. Многие даже в одно. 

Представленные подходы к решению вполне применимы для других типов задач, в которых прямоугольный треугольник является частью другого (данного в условии) треугольника, например равнобедренного. Средства для их решения совершенно одни и те же. Постараюсь акцентировать внимание на базовых свойствах и основных методах, которые необходимы для решения.

Кстати, в большинстве пособий по подготовке к экзамену почему-то встречаются только примеры на решение прямоугольного треугольника, как будто других задач в этом разделе и не существует — странно, конечно. Теперь теория!

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть равен 90 градусов.

Вершина треугольника — точка, в которой сходятся две стороны треугольника.

Сторона треугольника — отрезок соединяющий две вершины треугольника.

Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, которая противоположна прямому углу. На рисунке.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол.

*Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то такой треугольник называют Пифагоровым треугольником, а длины сторон образуют пифагорову тройку. Самый древний из известных Пифагоровых треугольников — Египетский треугольник, соотношение длин сторон которого 3:4:5.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

https://www.youtube.com/watch?v=7uIBZPkUdeI

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

https://www.youtube.com/watch?v=7uIBZPkUdeI

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

4. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Основная теория для решения задач, смотрите здесь =>>>

Основное тригонометрическое тождество — знать его вы должны обязательно и вспомнить в любое время дня и ночи. Можно сказать что это основа для решения задач на прямоугольный треугольник. Формула «красивая» запоминается легко:

Из неё следуют следующие …

Синус в квадрате и косинус в квадрате:

*Их запоминать не нужно, всегда сможете вывести путём простейших преобразований, которые используете в уравнениях.

**Когда речь идёт об использовании этой формулы для решения прямоугольного треугольника, то перед корнем ставиться знак «+», так как углы в этом треугольнике острые, а мы знаем, что синус и косинус острого угла имеет положитльный знак.

Так же из неё получаем две другие необходимые формулы путём деления на квадрат синуса и квадрат косинуса:

Учить эти формулы не нужно, вы всегда их сможете вывести. Признаюсь сам я до сих пор их не выучил, когда нужны, вывожу их, правда устно.

Что ещё? Формулы тангенса и котангенса (выучить не сложно, выводить их будет длительнее, чем вспоминать, они просты):

Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике

Гипотенуза прямоугольного треугольника  — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет а, лежащий напротив угла альфа, называется противолежащим (по отношению к углу альфа). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла а, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Без знания представленных определений задачи не решить. Нужно выучить!!! Проработайте определения многократно. Основная проблема в том, что учащиеся спустя время всё-таки  путают в определениях синуса и косинуса — то ли прилежащий катет относится к гипотенузе, то ли противолежащий; в определениях тангенса и котангенса — то ли прилежащий катет относится к противолежащему, то ли наоборот.

По этому поводу обязательно будет статья, как быстро вспомнить эти отношения без ошибки. Постараюсь не затягивать!  Вобще, темы для статей у меня в голове прибывают в геометрической прогрессии. Хочется Вам столько всего выдать, но времени маловато.

Ещё факт, который советую запомнить: синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём. И наоборот: косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого.

Итого: основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые пригодятся  при решении задач:

 Вывод: зная любые две стороны, мы можем найти третью сторону треугольника. Мой вам совет — каким бы не стоял вопрос, но если в задаче на прямоугольный треугольник даны две стороны, сразу же находите третью, пригодится однозначно. Зная все три стороны, вы без труда найдёте значение любой тригонометрической функции (и любой угол).

В треугольнике АВС угол С равен 900, . Найдите tg A.

Если в условии нет данных о сторонах и углах, а есть только тригонометрические функции, то пользуйтесь формулами:

Сразу видно, что можно использовать формулу:

Остаётся из основного тригонометрического тождества sin2A + cos2A = 1 найти cosA:  

Таким образом:

Ответ: 0,25

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен 900, . Найдите tg В.

Здесь необходимо найти тангенс другого острого угла. Как быть?

Воспользуемся формулой тангенса:

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, и наоборот, то есть:

Найдём sin B.

Из основного тригонометрического тождества sin2A + cos2A = 1 найдём cos A:

Значит

Таким образом:

Ответ: 0,25

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен 900, tg A = 7/24. Найдите sin A.

Используем формулу:

Из неё мы без труда найдём cos2A, а далее используя формулу основного тригонометрического тождества sin2A + cos2A = 1, сможем определить синус:

Вычислим sin A:

Ответ: 0,28

*Обратите внимание, что мы вычислили не косинус, а квадрат косинуса, так как далее для вычислений нам нужен именно квадрат.

Дан прямоугольный треугольник АВС, C равен 900, АВ = 8, sin A = 0,5. Найдите BC.

Здесь нам дана сторона (гипотенуза) и синус угла.

Задача в одно действие, используется определение синуса:

Ответ: 4

Дан прямоугольный треугольник АВС, C равен 900, АВ = 7,  tg = . Найдите ВC.

В данной задаче через функцию тангенса мы можем выразить только катеты, но они нам неизвестны. Поэтому выразим её через функцию косинуса. Далее по определению косинуса, мы сможем найти АС, а затем по теореме Пифагора найдём ВС. Итак:

Следовательно:

По определению косинуса cos A = AC/АВ, значит можем найти АС:

Далее по теореме Пифагора вычислим ВС: 

Таким образом,  ВС = 4.  

Ответ: 4

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен 900, АС = 24, ВС = 7.  Найдите sin A.

Мы уже говорили, что если в задаче известны две стороны, то лучше сразу найти третью сторону по теореме Пифагора. Зная все три стороны в прямоугольном треугольнике,  мы всегда без труда найдём значение любой тригонометрической  функции любого угла. 

По теореме Пифагора:

По определению синуса:

Ответ: 0,28

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен  900, ,  sin A = 11/14. Найдите AB.

По определению косинуса  cos A = АС/АВ, значит:

Сторона АС нам известна, найдём cos A.

Из основного тригонометрического тождества:

Таким образом:

Ответ: 28

Если вы найдёте более рациональные пути решения подобных задач, это будет замечательно, я лишь преследовал цель показать вам основные приёмы и необходимые формулы. Способов решения каждой подобной задачи на самом деле, не менее трёх.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решения: 27217, 27219, 27220, 27226, 27228, 27231, 27232, 27236, 27240, 27243, 27251, 27246, 27255.

В будущем мы так же будем разбирать и другие задачи на решение прямоугольного треугольника отличные от предоставленных, но теории уже касаться не буду. Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Решение треугольников | ЕГЭ-№6ТреугольникПодготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Источник: https://matematikalegko.ru/praymougolni-treugolnik/pryamougolnyj-treugolnik.html

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике

Способы найти угол в прямоугольном треугольнике - формулы вычисления

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. =5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.

,

В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:
Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α.

Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный.

К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: =0,6
По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.

Если по условиям даны параметры двух катетов, то можно найти острый угол по следующей формуле:

К примеру: A = 3 см, B = 4 см
Подставляем значения в формулу =0,75
По таблице тангенсов угол α будет равняться 36°, соответственно угол β = 54°.

Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

ABC

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле.

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S — основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 3

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 4

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α— плоскость, точка S— точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

[attention type=red]

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

[/attention]

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α— плоскость, точка S— точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

[attention type=red]

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

[/attention]

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: http://2mb.ru/matematika/geometriya/gipotenuza-v-pryamougolnom-treugolnike/

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.